Vereinfachung bei Potenzen

Question

Guten Tag zusammen

Ich habe folgende Erklärung für einen Induktionsschritt:

1) 7^k+1 − 1

2) 7 · 7^k − 1

3) (6 + 1) · 7^k − 1

4) (6 · 7^k) + (7^k − 1).

Jetzt verstehe ich den Vereinfachungsschritt von Schritt 3) zu 4). Warum wir hier 7 auf 6+1 aufgeteilt? Kann ich dann das +1 einfach dann mit dem -1 streichen?

Vielen Dank im Voraus!

LG
Apple

Comments

Vermutlich willst du zeigen, dass \( 7^k - 1 \) für alle k durch 6 teilbar ist.

Die Induktionsvoraussetzung ist, dass \( 7^k - 1 \) durch 6 teilbar ist und du möchtest jetzt sehen, dass dann auch schon \( 7^{k+1} - 1 \) durch 6 teilbar ist. Dazu kann man diesen Term z.B. in eine Summe aufspalten in der jeder Summand durch 6 teilbar ist, denn dann ist auch die Summe (also \( 7^{k+1} - 1 \)) durch 6 teilbar.

Answer 1

Es wurde das Distributivgesetz angewendet.

(a+b)*c = ac + bc

Answer 2

$$(6 + 1) · 7^k − 1=$$Distributivgesetz$$6*7^k+1*7^k-1=$$Assoziativgesetz $$6*7^k+(1*7^k-1)=$$Existenz der 1$$6*7^k+(7^k-1)$$