Ableitungsregeln, Brüche?

Question

ich habe eine Frage zu Ableitungsregeln.

Also f(x)=2x^4 -> f'(x)=2*4x^3 oder?

Aber wie ist es bei diesen:

f(x)=2/x^3 zum Beispiel? Also wenn es einen Bruch gibt indem x^3 steht? Könnte mir das jemand erklären?

Und auch bei f(x)=x^1 - Fällt es dann ganz weg?

!!

Answer 1

f(x)=\( \frac{a}{x^n} \) kann man auch so schreiben: f(x)=a·x ^{- n} . Nach der üblichen Ableitungsregel ist dann f '(x)= -n·a·x^-n-1 und das kann man auch so schreiben f '(x)= \( \frac{-n·a}{x^{n+1}} \).

Answer 2

$$f(x)=2/x^3=2*x^{-3}$$

$$f'(x)=2*(-3)x^{-4}=-6/x^4$$

Das ist das Einfachste. der Exponent rückt als Faktor nach vorne und der neue Exponent wird um 1 kleiner, aus -3 wird -4.

Es geht auch über die Quotientenregel doch das macht das Ganze nur unnötig umständlich.

Doch um zu zeigen, wie umständlich es ist, dass aber das gleiche rauskommt, mache ich es jetzt.

$$f(x) = u(x)/v(x)= 2/x^3$$

mit

$$u(x)= 2 ; u'(x)=0$$

$$v(x)= x^3 ; v'(x)= 3x^2$$

Die Quotientenregel lautet

$$f'(x)= \frac{u'(x)*v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2} $$

Die Werte von oben da eingesetzt führt zu

$$f'(x)=  \frac{0*x^3-2*3x^2}{(x^3)^2} = \frac{-6x^2}{x^6} = \frac{-6}{x^4}  $$

Aber wie gesagt, totaler Blödsinn.

Answer 3

Und auch bei f(x) = x ^1 - Fällt es dann ganz weg ?

f(x) = 1 * x ^(1-1)
f(x) = 1 * x ^0
f(x) = 1 * 1
f(x) = 1