Begründen Sie Ihre Antwort und geben Sie zudem das zugehörige lineare Ausgleichsproblem an, wenn es sich um ein …

Question

Aufgabe:

Seien n,m ∈ N, t_i,z_i ∈ R für alle i ∈ {0,1,...,m}. Gesucht sind a₀,...,a_n ∈ R mit:$$y(t_k)= \sum\limits_{i=0}^{n}{a_i \cdot t_k^i} = z_k \quad \forall k=0,\,\dots,\, m$$y(t_k)= \( \sum\limits_{i=0}^{\n}{a_i*t_kⁱ}\) = z_{k für alle k=0....,m}

Problem/Ansatz:

Handelt es sich um ein lineares oder ein nichtlineares Ausgleichsproblem?
Begründen Sie Ihre Antwort und geben Sie zudem das zugehörige lineare Ausgleichsproblem an, wenn es sich um ein lineares Ausgleichsproblem handelt.

Answer 1

Hallo Sarah,

es handelt sich um eine lineares Ausgleichproblem, da die Parameter \(a_i\) linear in die zu bestimmende Gleichung eingehen. Siehe auch 'Der allgemeine lineare Fall'.

Das Ausgleichsproblem ist die Minimierung der quadratischen Abweichungen: $$\left( y(t_k) - z_k \right)^2 \to\min$$Bem.: oben in der Frage muss es IMHO richtig heißen$$y(t_k)= \sum\limits_{i=0}^{n}{a_i \cdot t_k^i} \approx z_k \quad \forall k=0,\,\dots,\, m$$ich unterstelle, dass die \(z_k\) gegeben sind. Für den allgemeinen Fall \(n \lt m\) gäbe es ansonsten keine Lösung für die \(a_i\).

Comments

Z_k ist nicht gegeben, wie stelle ich nun ohne ein gegebenes Z_k ein lineares ausgleichsprovlem da ? Wir sollen es nicht lösen nur quasi aufstellen

Vielen Dank für die bisherige Hilfe ☺️

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Zk ist nicht gegeben, ...

was ist denn gegeben? Sind die Paare \((y_k; \, t_k)\) gegeben? Wenn Du ein Ausgleichproblem hast, muss es ja Stützstellen geben!

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Das ist die komplette Aufgabe, mehr ist nicht gegeben

Liebe Grüße

Sarah

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Das ist die komplette Aufgabe, mehr ist nicht gegeben

Ja natürlich. In einem konkreten Ausgleichproblem sind die Paare \((t_k;\, z_k)\) gegeben. Das sind die Stützstellen, die i.A. aus Messwerten stammen. Genauso muss das \(n\) - also der Grad des gewünschten Ausgleichspolynom - gegeben sein.

Es heißt doch auch:

Gesucht sind a₀,...,a_n ∈ R mit ...

das ist gesucht und soll aus den Stützstellen bestimmt werden.

Wir sollen es nicht lösen nur quasi aufstellen

Genau! Du sollst es nicht lösen, und daher brauchst Du auch keine Zahlenwerte. Der Ansatz ist der, den ich schon in der Antwort beschrieben habe:$$\left( y(t_k) - z_k \right)^2 \to\min$$für das \(y(t_k)\) wird nun die Summenformel eingestzt:$$\left( \sum_{i=0}^n a_i t_k^i - z_k \right)^2 \to\min$$Das - oder auch schon die obige Gleichung - ist bereits das 'lineare Ausgleichproblem'. Auch diese Schreibweise ist üblich:$$\left\| \sum_{i=0}^n a_i t_k^i - z_k \right\|_2 \to \min$$... ist aber dasselbe.

Um das Minimum zu finden, leitet man nach den \(a_i\) ab und setzt die Ableitung zu 0. Und so kommt man zur sogenannte Normalengleichung. Die sieht in Deinem Fall so aus$$A = \begin{pmatrix}1& t_1& \dots& t_1^n\\ 1& t_2& \dots& t_2^n\\ \vdots& \vdots& & \vdots\\ 1& t_m& \dots& t_m^n\end{pmatrix}\\ A^T \cdot A \cdot a = A^T \cdot z$$wobei \(z\) der Vektor mit den \(z_k\) und \(a\) der Vektor mit den \(a_i\) ist. Das ist ein lineares Gleichungssystem mit \(n+1\) Unbekannten, und die Lösung sind die gesuchten \(a_i\).