Zeigen Sie, dass f im ganzen Intervall [1; 2

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Funktion f (x) = ln(x³ − 1/3x² − 2x + 2).

a) Zeigen Sie, dass f im ganzen Intervall [1; 2] defniert ist.
Hinweis: Berücksichtigen Sie die Monotonie des Polynoms im Intervall.

b) Zeigen Sie, dass f im Intervall [1; 2] genau eine Nullstelle hat.

c) Geben Sie ein Näherungsverfahren an, mit dem die Nullstelle von f im Intervall [1;2] berechnet werden kann. Wählen Sie als Startpunkt x₀ = 2 und berechnen Sie mit Ihrem Näherungsverfahren den Wert x₁.

Problem/Ansatz:

Answer 1

g(x)=x^3 − 1/3x^2 − 2x + 2 hat g ' (x) = 3x^2 -(2/3)x-2 

ist für x≥1 positiv, also g dort monoton streng steigend.

g(1)=2/3   und g(2)=14/3 also g über [1;2] positiv, somit

ln(g(x) ) hier überall definiert.

b)   f(1)=ln(2/3) < 0  und f(2)=ln(14/3) > 0

und f ist im Intervall [1;2] auch monoton steigend, hat also
dort genau eine Nullstelle.

c) Newtonverfahren mit xo=2 ergibt

x1= 2 - f(2)/f'(2) = 2 - 1,5405/1,8571 = 1,17

x2= 1,17 - -0,2165/1.6474 = 1,3014

x3=1,3014 - 0,0362/2,1349  = 1,28

etc.