Zeigen Sie, dass f surjektiv ist.

Question

Hallo, ich habe folgende Aufgabe zu lösen:




Wir betrachten die Abbildung f : R² → R² mit f(x, y) = $\begin{pmatrix} x^2-y^2\\2xy \end{pmatrix}$

(A) Zeigen Sie, dass f surjektiv ist.
(B) Zeigen Sie, dass zu jedem Punkt (x, y) ≠ (0, 0) genau 2 Urbilder existieren.

Könnte mir bitte jemand helfen?

Vielen Dank im Voraus

Answer 1

Sei (a,b) ∈ ℝ² . zu zeigen:

Es gibt (a,b) ∈ ℝ² mit f(x,y)=(a,b) . Dazu muss gelten

x² - y² = a    #   und 2xy = b

(x-y)(x+y)=a  und  2xy = b

                       ==>  y =  b / (2x)

x² - b² / (4x²) = a

4x⁴ - b² = 4x² * a

4x⁴ -  4x² * a  - b²  = 0  

x⁴ - a *x²  - b² /4  = 0

x² =  a/2 ± √ ( a² / 4 + b² /4 ) =   0,5a ± 0,5√ ( a²+ b²)  ##

Und die Wurzel liefert immer einen Wert, der größer als der Betrag

von a ist, außer im Falle a=b=0 da gibt es 0.

Also hat man im Falle a=b=0 für x² =0 also x=0 und wegen #

auch y² = 0 , also y=0 .  In diesem Fall also nur genau ein Urbild.

Falls mindestens einer von a oder b nicht 0 ist, ist ja a² + b² > 0

also ergibt sich bei ##  x² =   0,5a ± 0,5√ ( a²+ b²)

wobei einer der beiden Werten pos. und der andere negativ ist;

denn die Wurzel liefert ja etwas, was größer als |a| ist.

Somit hat man einmal, das x² = etwas positivem ist ,

also gibt es genau zwei Lösungen für x und mit  2xy = b

also genau einen Wert für y .  Also immer genau zwei

Urbilder.

Comments

Hallo, vielen Dank für deine Ausführungen.

Kannst du mir nochmal die Stelle deutlich machen, wo a und b sich trennen? Dies geht mir nicht so ganz aus den Ausführungen hervor. Oder ist dies komplett teil b?

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Ich habe gezeigt, dass zu jedem Punkt (x, y) ≠ (0, 0) genau 2 Urbilder existieren. Und zu (0,0) genau eines.

Also gibt es zu jedem Punkt ein Urbild

==>  f ist surjektiv.

Also schreibt man besser erst die Lösung zu b) und dann

die zu a) auf.