Seien an = 7n−1/ n+1 und a = 7. Beweisen Sie, dass limn→∞ an = a, indem Sie zu jedem ε > 0

Question

Aufgabe: Seien an = 7n−1/n+1 und a = 7. Beweisen Sie, dass limn→∞
an = a, indem Sie zu jedem ε > 0
die kleinste Zahl n0 ∈ N bestimmen, fur die gilt: ¨ ∀ n ≥ n0 |an − a| < ε.
Vervollständigen Sie die Tabelle:
ε 0, 1 0, 01

n0

Comments

Als Aufgabe finde ich es reizvoll, dass kleinste n_0 zu finden, doch für den Beweis, dass die Folge gegen 7 strebt, ist es meiner Meinung nach nicht notwendig, zu jedem ε ein kleinstes n_0 zu finden. Hauptsache ist doch, dass der Abstand für alle N≥n_0 kleiner als ε ist.

Answer 1

Hallo

schreib die Ungleichung hin, multiplizier mt de m Hauptnenner und  rechne n0 einfach aus in Abhängigkeit von ε!

wenn du Brüche mit / schreibst musst du Klammern setzen, sons sieht man nicht ob es

(7n−1)/(n+1) oder 7n - 1/n  +1 oder  noch andere Versionen meint, hier wüsste ich die Klammern nur wegen des GW 7

Gruß lul

Answer 2

$$(7n-1)/(n+1)=7-8/(n+1)$$$$8/(n_0+1)<ε$$$$8/ε<n_0+1$$$$8/ε-1<n_0$$$$ε=0,1 →n_0=80$$$$ε=0,01 →n_0=800$$$$ε=0,001 →n_0=8000$$$$ε=0,0001 →n_0=80000$$$$usw$$