Nullstellen von f(x) = x³ - 3x² - x + 3 berechnen

Question

Ich weiß, dass man die Nullstellen mit der PQ-Formel oder aber auch mit der ABC Formel ausrechnen kann, aber da ist die x³, wie bekomme ich sie weg?? das verstehe ich leider nicht? :D

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f(x) = x³ - 3x² - x + 3

Hat eine offensichtliche Nullstelle bei x=1.
Daher kannst du ohne Rest die folgende Polynomdivision durchführen
(x³ - 3x² - x + 3):(x-1) = x^2 + ...

…

Nach her noch die Nullstellen des Resultats mit der pq-Formel berechnen.
Maximal hat x³ - 3x² - x + 3=0 dann 3 Lösungen.

Answer 1

Hi,

für ein Polynom 3ten Grades muss oft die Polynomdivision herangezogen werden. Dadurch minimierst Du den Grad um 1 und kannst dann (falls nötig) die pq bzw. abc-Formel verwenden:

Rate eine Nullstele um eine Polynomdivision zu machen: x = 3

(x^3  - 3x^2  - x  + 3) : (x - 3)  =  x^2 - 1  
-(x^3  - 3x^2)         
 ——————
              - x  + 3
            -(- x  + 3)
              ———
                     0
 

Nun brauchts nicht mal mehr die pq-Formel. Man erkennt sofort den dritten Binomi und liest die weiteren Nullstellen x₂ = -1 und x₃ = 1 ab.

 

Es sind also insgesamt die Nullstellen: x₁ = 3, x₂ = -1 und x₃ = 1

 

Grüße

Comments

Hallo :) Danke für deine Antwort, aber irgendwie verstehe ich das hier nicht:

(x3  - 3x2  - x  + 3) : (x - 3)  =  x2 - 1
-(x3  - 3x2)        
——————
              - x  + 3
            -(- x  + 3)
              ———
                     0

genau das ist mein Problem, wieso hast du da jetzt (x³-3x²-x+3) in eine Klammer gemacht? und woher kommt (x-3) und warum geteilt?

Bitte hilf mir :(

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Das ist die "Polynomdivision"?!

Nun x^3 - 3x^2 - x + 3 ist eine Summe. Wenn ich da was dividieren will, muss die Summe in Klammer gesetzt werden!

Und den Divisor (x-3) habe ich "geraten". Ich habe doch die Nullstelle x = 3 gefunden.


D.h. ich habe einfach ein paar Zahlen genommen und geschaut ob man da irgendwie eine Nullstelle findet. Bei x = 3 bin ich fündig geworden. (x-3) ist ja 0, wenn x = 3 ist. Deshalb ist das der Divisor

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Ahh verstehe es sooo langsam :)

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Das freut mich zu hören. Vielleicht kommt gleich das "Klick"?! :)

Wenn noch ein Schubs von Nöten ist, so gebe Bescheid.

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Ahsooooooooooo ja jetzt hab ich es verstanden!!!!! also das dividieren habe ich verstanden :)
aber eine Sache verstehe ich trzd nicht, wie haben sie denn geraten? "Und den Divisor (x-3) habe ich "geraten" aber wie? kann ich mir auch einfach zahlen ausdenken? oder gibt es da einen trick? :)

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Du kannst Dir einfach Zahlen ausdenken. Aber in der Tat gibt es da einen Trick^^.

Hast Du vor x^3 eine 1 stehen, dann muss eine ganzzahlige Nullstelle (also -10,-5,0,1,3...) ein Teiler des Absolutgliedes sein (also von dem Summanden ohne x).


Hier haben wir ja x^3 - 3x^2 - x + 3.

D.h. mögliche (ganzzahlige) Nullstellen sind -3 und 3, sowie -1 und 1.

Mehr Zahlen brauchst Du nicht auszuprobieren ;). Ich habe x = 3 ausprobiert und ins Schwarze getroffen. Damit ist mein Divisor (x-3).


Alright?

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Yaapppp!!!! dankeeee!!!!!!!!
wenn ich aber fragen habe, kann ich hier trzd kommentieren? also nicht dass ich dich dann nverve? :)

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Die Zahl darf nicht einfach gewählt werden. Es muss sich schon um eine Nullstelle handeln. In der Schule handelt es sich meistens um eine ganze Zahl zwischen -3 und 3. Dann wird im Kopf oder mit dem Taschenrechner f(-3),...,f(3) berechnet und bei dem Wert, für den f(x)=0 ergibt handelt es sich um eine Nullstelle. In diesem Fall ist f(3)=0. Also ist 3 eine Nullstelle und man Wählt den Divisor (x-3). Das heißt, von x wird die gefundene Nullstelle subtrahiert.
Wäre die Nullstelle bei -3, so würde man den Divisor (x-(-3))=(x+3) wählen.

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Das ist in dem Sinne schlecht, dass etwaige Mitleser Deine Frage nicht finden, obwohl sie eventuell ebenfalls Interesse haben, bzw. das Ganze wird unübersichtlich.

Aber stell doch eine neue Frage. Das garantiert auch schnelle Hilfe. Vielleicht bin auch ichs wieder der antwortet (auch wenn ich das nicht merken werde, da Du ja anonym bist :P).


:)

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Die Zahl darf nicht einfach gewählt werden.

 

Damit bezog ich mich auf das "Probieren/Raten". Da darf man sich durchaus eine Zahl ausdenken und schauen, ob sie eine Nullstelle ist oder nicht.

Sonst aber hast Du natürlich völlig recht in Deiner Ausführung ;).

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Ich bin Emre, der auch so wie du sein will :)

(Das Thema interessiert mich) deshalb versuche ich es zu verstehen:) lernen schadet ja nicht, oder? :)

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Ach und Du versteckst Dich unter der Anonymität^^.


Und nein. Lernen schadet nicht^^

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Jap :)))) hahah:)
ich hab eigentlich soweit alles mit dem teilen verstanden juuhuu aber EINE frage noch :)

zb (x³ + 6x² + 9x + 4) : (x+1) = x² (aber wie kann man das denn rechnen? x³:x???? wenn du mir noch diese frage beantworten könntest, dann wäre es eine PERFEKTE ANTWORT wie immer von dir :)

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x^3 = x*x*x

Und (x*x*x)/x = x*x = x^2, denn die orangenen Faktoren kürzen sich.

 

Damit die Frage beantwortet? :)

(Alternativ, vielleicht aber noch nicht bekannt, über die Potenzgesetze a^b/a^c = a^{b-c}...hier also x^3/x^1 = x^{3-1} = x^2 )

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aah jetzt...danke dass du die potenzgesetze nochmal geschrieben hast :) ja, jetzt ist es klar :)

danke!!!!!!!!!!!!!! :)

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Iwann brauchts aber auch Pause!^^


Viel Spaß ;).

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hahaha ja ..man diese seite ist so cool :)