Für "Isomorphismus" musst du (außer Linearität) zeigen:
g ist injektiv und surjektiv
injektiv etwa so:
Seien a,b ∈ R mit g(a) = f(a) dann folgt a=b.
Also: Seien a,b ∈ R mit g(a) = f(a)
==> 2a = 2b
==> ln ( 2a ) = ln ( 2b )
==> a* ln ( 2 ) = b * ln ( 2 )
Und weil ln(2) ≠ 0 kann man dividieren
==> a = b . Also g injektiv.
surjektiv: Sei y∈ R\{0}. Zeige: Es gibt x∈ R mit g(x)=y
Also: Sei y∈ R\{0}. ==> ln(y) / ln(2) ∈ R.
Setze x:= ln(y) / ln(2)
==> ln(2) *x= ln(y )
==> e^( ln(2) *x) = e^(ln(y))
==> (e^(ln(2)) x = y
==> 2x = y . Also g surjektiv.