Beweisen Sie: g: (R,+)-->(R\{0},·）， x-->2x Isomorphismus ist.

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie: g: (R,+)-->(R\{0},·）， x-->2^x Isomorphismus ist

Problem/Ansatz:

Ich weiß, diese Abbildung ist Homomorphismus, aber bin nicht sicher, ob mein Beweisen für Isomorphismus richtig ist.

Hier ist mein Rechnenverfahren:

für alle 2^x∈ (R\{0},·）, ln (2^x) = x ,mit x ∈ {R>0}

{R>0} gehört zu R, deshalb ist diese Abbildung Isomorphismus.

Habe ich richtig bewiesen? wenn nein, wie beweise ich richitg?

Herzlichen Dank!

Answer 1

Für "Isomorphismus" musst du (außer Linearität) zeigen:

g ist injektiv und surjektiv

injektiv etwa so:
Seien a,b ∈  R mit g(a) = f(a)  dann folgt a=b.

Also:     Seien a,b ∈  R mit g(a) = f(a)

==>              2^a = 2^b

==>            ln (     2^a ) = ln ( 2^b )

==>           a*  ln (    2 ) = b * ln ( 2 )  

Und weil ln(2) ≠ 0 kann man dividieren

==>          a = b . Also g injektiv.

surjektiv: Sei y∈ R\{0}. Zeige: Es gibt x∈  R mit g(x)=y

Also: Sei y∈ R\{0}. ==>  ln(y) / ln(2) ∈  R.

Setze x:=    ln(y) / ln(2)

     ==>  ln(2) *x= ln(y )

     ==>  e^( ln(2) *x) = e^(ln(y))

 ==>   (e^(ln(2)) ^x =   y

==>        2^x = y .        Also g surjektiv.

Comments

Herzlichen Dank für deine einleuchtende Erklärung und Antwort :D

Meine Frage ist klar gelöst und erklärt!

LG.

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Hallo,

was ist denn hier mit R gemeint? Die reellen Zahlen? Was wäre dann ln(y) für negatives y?

Gruß

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Hi，Ich habe mein Lehrbuch angeschaut. R ist hier mit reelen Zahlen gemeint.

Ich weiß nicht, wie ich mit diesem Fall '' Was wäre dann ln(y) für negatives y?'' diese Aufgabe behandeln. Definitionsbereich von ln is positive Zahlen, ich weiß nicht, ob ich hier die negative Zahlen in Betracht ziehen sollte.

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Wenn R die reellen Zahlen sind, ist die Aussage falsch. Die Abbildung ist nicht surjektiv. Vielleicht kontrollierst Du mal die Aufgabenstellung.

Gruß MathePEter

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Hi,

du hast rechst. Ich werde diese Frage an meinen Tutor stellen, nach den Weihnachtenferien :) und dir Bescheid geben.

LG>