Bestimmen Sie die Lösungsmenge:

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Lösungsmenge:

1) 2^x= 3^x-1

2) 7^x+1= 2^7x

3) 5^2x= 4^x-1

Answer 1

Aloha :)

Die erste Gleihung sehr ausführlich:$$\left.2^x=3^{x-1}\quad\right|\ln(\cdots)$$$$\left.\ln(2^x)=\ln(3^{x-1})\quad\right|\ln(a^b)=b\ln(a)$$$$\left.x\ln(2)=(x-1)\ln(3)\quad\right|\text{rechts Klammer ausrechnen}$$$$\left.x\ln(2)=x\ln(3)-\ln(3)\quad\right|-x\ln(2)$$$$\left.0=x\ln(3)-x\ln(2)-\ln(3)\quad\right|+\ln(3)$$$$\left.\ln(3)=x\ln(3)-x\ln(2)\quad\right|\text{\(x\) ausklammern}$$$$\left.\ln(3)=x(\ln(3)-\ln(2))\quad\right|\ln\left(\frac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b)$$$$\left.\ln(3)=x\ln\left(\frac{3}{2}\right)\quad\right|:\,\ln\left(\frac{3}{2}\right)$$$$\left.x=\frac{\ln(3)}{\ln\left(\frac{3}{2}\right)}\quad\right.$$

Die zweite Gleichung etwas kürzer:$$\left.7^{x+1}=2^{7x}\quad\right|\ln(\cdots)$$$$\left.(x+1)\ln(7)=7x\ln(2)\quad\right|\text{links Klammer ausrechnen}$$$$\left.x\ln(7)+\ln(7)=7x\ln(2)\quad\right|-x\ln(7)$$$$\left.\ln(7)=7x\ln(2)-x\ln(7)\quad\right|\text{\(x\) ausklammern}$$$$\left.\ln(7)=x\left(7\ln(2)-\ln(7)\right)\quad\right|\text{rechts Logarithmen zusammenfassen}$$$$\left.\ln(7)=x\ln\left(\frac{2^7}{7}\right)\quad\right|:\,\ln\left(\frac{2^7}{7}\right)$$$$x=\frac{\ln(7)}{\ln\left(\frac{128}{7}\right)}$$

Die dritte geht nun mit etwas Übung sehr zügig:$$\left.5^{2x}=4^{x-1}\quad\right|\ln(\cdots)$$$$\left.2x\ln(5)=(x-1)\ln(4)\quad\right|\text{alle \(x\) nach links}$$$$\left.2x\ln(5)-x\ln(4)=-\ln(4)\quad\right|\text{\(x\) ausklammern}$$$$\left.x(2\ln(5)-\ln(4))=-\ln(4)\quad\right|\text{Logarithmen links zusammenfassen}$$$$\left.x\ln\left(\frac{25}{4}\right)=-\ln(4)\quad\right|:\,\ln\left(\frac{25}{4}\right)$$$$\left.x=-\frac{\ln(4)}{\ln\left(\frac{25}{4}\right)}\quad\right.$$

Answer 2

Hallo

wende auf alle Gleichungen ln oder lg an.

z.B. ) 2^x= 3^x-1 folgt x*ln2=(x-1)*ln3  dann x*(ln3/2)=ln2  x=ln2/ln(3/2)

alle anderen nach derselben Methode

Gruß lul

Answer 3

Wenn du erst möglichst spät mit Logarithmen einsteigen willst (z.B. wenn Potenzgesetze "sitzen" aber bei Logarithmusgesetzen Unsicherheiten bestehen):

1) lässt sich umformen zu

\( 2^x=\frac{1}{3}3^x \)

\(3=1,5^x\)

ln 3 = x ln 1,5

\( x=\frac{ln 3}{ln 1,5} \)

Answer 4

1)$$2^x= 3^{x-1}$$$$x*ln (2)=x*ln (3)-1*ln (3)$$$$x(ln (2)-ln(3))= -ln (3)$$$$x= \frac{ln(3)}{ ln (3)-ln(2)} $$

2) $$7^{x+1}= 2^{7x}$$$$7^{x+1}= 128^{x}$$$$x= \frac{ln(7)}{ ln (128)-ln(7)} $$

3)$$ 5^{2x}= 4^{x-1}$$$$ 25^{x}= 4^{x-1}$$$$x= \frac{ln(4)}{ ln (4)-ln(25)} $$

Comments

Geändert, die Aufgabe habe ich erst falsch abgeschrieben.

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Hallo Hogar,

probier mal statt

\(ln\)

fortan

\(\ln\)

zu schreiben.

Das geht auch für andere Funktionen wie sin, cos, tan, exp, ...

Vergleich \(ln(x)\) vs \(\ln(x)\) oder \(sin(x)\) vs. \(\sin(x)\)

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Danke für den Tipp.

Sicher sehe ich, dass die Buchstaben mal aufrecht und mal geneigt sind.

Doch dieser Unterschied erscheint mir nicht so gravierend, zumal ich es immer erst einfach so schreibe und dann vorne und hinten zwei Dollarzeichen setze. Sicher keine schöne Methode, da ich dann Probleme mit den Lücken bekomme.

Mein Problem war, dass ich die Aufgabe kopiert habe und dann beim Einfügen aus einem 2^(7x) ein 27x wurde und ich erst falsch ein 27^x

davon gemacht habe.

Die Frage ist für mich eher, ob ich statt ln (128) lieber 7*ln (2) hätte schreiben sollen.

Eine andere, warum mein Smartphone statt ln immer LN schreibt.

Answer 5

7^(x+1)= 2^(7x)

7^x*7= (2^7)^x

(2^7/7)^x = 7

x = ln(2^7/7)/ln7

5^(2x) =4^(x-1)

(5^2)^x= 4^x/4

4= (4/25)^x

x= ln4/ln(4/25)