Es sei (xn)n∈Neine Folge reeller Zahlen, die gegenx∈Rkonvergiert

Question

Aufgabe:

Es sei (xn)n∈Neine Folge reeller Zahlen, die gegen x∈R konvergiert.

(a)  Zeigen Sie: Erfüllt die Folge (xn) n∈N die Bedingung, dass xn≥0 für allen∈N,dann giltx≥0.

(b)  Gilt (a) auch für strikte Ungleichungen, d. h. folgt aus xn>0 für alle n∈N, dassx >0 sein muss? Geben Sie einen Beweis oder ein Gegenbeispiel.

Answer 1

Gegenbeispiel zu b)   a_n = 1/n

a) Angenommen die Aussage sei falsch, dann wäre der Grenzwert negativ,

also x<0.  Dann wären in der ε-Umgebung um x für ε=|x|/2 nur negative Zahlen.

Es müssten aber von einem gewissen N an, alle Folgenglieder in dieser

Umgebung liegen. Es gibt aber keine negativen Folgenglieder. Widerspruch !

Comments

können Sie das bitte das expliziter schreiben

---

Wo liegt das Problem =

Warum x<0 ?

Alle Zahlen in Umgebung negativ ?

Kein Folgenglieder ab N negativ ?

Wieso Widerspruch ?

---

Das problem liegt dass ich nicht verstanden habe , warum ich epsilon gleich x durch 2 gewählt habe ?

---

und in dem aufgabeteil b ,können sie mir erklären warum 1 durch n, also wie kann ich das beweisen ?

---

epsilon gleich |x| durch 2 gewählt

Man draucht eine Umgebung um x, die ganz im Negativen liegt. Also

epsilon gleich |x| hätte es auch getan.

Die Folgenglieder bei 1/n sind alle größer 0, aber

der Grenzwert nicht, der ist gleich 0.

Answer 2

a)Wenn x<0 könnte sich die Folge diesem Wert ja nie nähern, der Abstand wäre immer größer gleich |x|

b)Die Folge a_n=1/n nähert sich 0