Lineare Abbildungen und Standardbasis bestimmen!

Question

Aufgabe:

Sei \( \left(\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}\right) \) die Standardbasis von \( \mathbb{R}^{2} \).

Seien \( V=\mathbb{R}^{2}, W=\mathbb{R}^{2} . \) Im Folgenden ist jeweils eine (geordnete) Basis \( B_{V} \) für \( V \) und eine (geordnete) Basis \( B_{W} \) für \( W \) angegeben.
Wie bestimme ich jeweils die Matrix der linearen Abbildung (der "Koordinatenwechsel von Koordinaten bzgl. \( B_{V} \) zu Koordinaten bzgl. \( \left.B_{W} "\right) \)
\(\text { Koord }_{B_{W}} \circ \text { Koord }_{B_{V}}^{-1}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow\mathbb{R}^{2}\)
1) \( B_{V}=B_{W}=\left(\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}\right) \)
2) \( B_{V}=\left(3 \cdot \mathbf{e}_{1}, 5 \cdot \mathbf{e}_{2}\right), B_{W}=\left(\mathbf{e}_{1},\mathbf{e}_{2}\right) \)

Ich bedanke mich bei euch im Voraus!

Answer 1

Bei 1 ist das doch wohl die Einheitsmatrix

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denn der "Koordinatenwechsel" ist ja kein Wechsel, da B_V=B_W.

Und bei 2 würde ich sagen

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Comments

Könntest du bitte mir erklären, warum hattest du bei 2)  die Antwort

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Wenn ein Vektor bzgl Bv die Koordinaten (x,y) hat,

dann gilt ja v = x*3e1 + y*5e2 =  3x*e1 + 5y*e2

also hat er bzgl Bw die Koordinaten ( 3x ; 5y ) .

Und das passt zu

$$\begin{pmatrix} 3& 0 \\ 0& 5\end{pmatrix}*\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3x\\5y \end{pmatrix}$$

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Und falls wir die beide Basis tauschen, z.B. B_v=(e_1, e_2) und B_w=(3.e_1, 5.e_2) , wird die gleiche Matrix sein?

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Nein, dann ist es

1/3  0
0   1/5

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In diesem Fall B_V = (e1, e2), B_W = (e2, e1). Wird die Martix so aussehen

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