1)
Die allgemeine Gleichung einer Ebene E in Normalenform mit Normalenvektor n und Stützvektor a lautet:
E : n * ( x - a ) = 0
Vorliegend ist n = ( -1 1 2)T der Normalenvektor und p = ( 0 2 1)T der Stützvektor der gesuchten Ebene E. Deren Gleichung in Normalenform ist daher:
E : ( -1 1 2 )T * ( x - ( 0 2 1)T ) = 0
<=> ( -1 1 2 )T * x - ( -1 1 2)T * ( 0 2 1)T = 0
<=> ( -1 1 2 )T * x - 4 = 0
bzw. in Koordinatenform:
- x1 + x2 + 2 x3 = 4
2)
Den Abstand d eines Punktes von einer Ebene bestimmt man mit der Hesseschen Normalform. Es gilt:
$$d=\frac { { n }_{ 1 }{ x }_{ 1 }+{ n }_{ 2 }{ x }_{ 2 }+...+{ n }_{ k }{ x }_{ k }-y }{ \sqrt { { n }_{ 1 }^{ 2 }+{ n }_{ 2 }^{ 2 }+...+{ n }_{ k }^{ 2 } } }$$
dabei sind die ni die Koordinaten des Normalenvektors der Ebene und die xi die Koordinaten des Punktes, dessen Abstand von der Ebene bestimmt werden soll. y ist die Konstante auf der rechten Seite der Koordinatenform der Ebene.
Setzt man ein, so erhält man:
$$d=\frac { (-1)*0+1*(-1)+{ 2 }*0-4 }{ \sqrt { { (-1) }^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 }+2^{ 2 } } } =\frac { -5 }{ \sqrt { 6 } } \approx
-2,04$$
3)
Die Ebene E2 , die parallel zu E liegt und durch den Ursprung verläuft, hat denselben Normalenvektor wie E, Ihr Stützvektor hingegen ist der Nullvektor, also:
E2 = ( -1 1 2 )T * ( x - ( 0 0 0 )T ) = 0
<=> ( -1 1 2 )T * x = 0
bzw. in Koordinatenform:
- x1 + x2 + 2 x3 = 0
