Hallo,
Führe zunächst eine Partialbruchzerlegung durch:$$\begin{aligned} &\phantom{=}\frac{x^3+x^2+3x+2}{(x^2+1)((x+1)^2+1)} \\&= \frac {Ax+B}{x^2+1} + \frac {Cx+D}{x^2+2x+2} \\&= \frac{(A+C)x^3 + (2A+B+D)x^2 + (2A+2B +C)x + (2B+D)}{N} \end{aligned}\\ \implies A=0, \quad B=1,\quad C=1, \quad D=0$$Also ist$$\frac{x^3+x^2+3x+2}{(x^2+1)((x+1)^2+1)} = \frac{1}{x^2+1} + \frac{x}{(x+1)^2 + 1}$$ Dann ist das Integral des ersten Summanden$$\int \frac{1}{x^2+1}\,\text dx = \arctan(x) + C$$und den zweiten Summanden teile ich nochmal in zwei Terme auf$$ \frac{x}{(x+1)^2 + 1} = \frac{x+1}{(x+1)^2 + 1} - \frac 1{(x+1)^2 + 1}$$Im ersten Term steht nun ein Faktor der Ableitung des Nenners im Zähler$$ \phantom{=} \int \frac{x+1}{(x+1)^2+1} \, \text dx \\= \frac 12 \int \frac{2x+2}{x^2+2x+2}\, \text dx \\= \frac 12 \ln\left( x^2 + 2x +2 \right) + C$$und beim zweiten Term substituiere ich \(x+1\)$$\int \frac 1{(x+1)^2+1} \, \text dx = \arctan\left( x+1\right) + C$$Und alles zusammen gefasst:$$\int \frac{x^3+x^2+3x+2}{(x^2+1)((x+1)^2+1)}\,\text dx \\ = \frac 12 \ln\left( x^2 + 2x +2 \right)+ \arctan(x) - \arctan\left( x+1\right) + C $$Gruß Werner
