Aloha :)
Keine Panik, einfach einen Schritt nach dem anderen machen, sonst fällt man hin. Wir betrachten die Funktion gemeinsam:$$f(x)=-\frac{1}{4}x^4+\frac{2}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2-2x$$Unsere Kandidaten für Extremwerte sind die Stellen \(x\), bei denen die Ableitung der Funktion null wird. Wir brauchen also die Ableitung \(f'(x)\). Dazu erinnern wir uns daran, dass die Ableitung von \(x^n\) einfach nur \(n\cdot x^{n-1}\) ist. Der Exponent fällt also nach vorne und wird um \(1\) vermindert.$$f'(x)=-\frac{1}{4}\cdot 4x^3+\frac{2}{3}\cdot 3x^2+\frac{1}{2}\cdot 2x- 2\cdot1=\underline{-x^3+2x^2+x-2}$$Davon brauchen wir die Nullstellen. Leider können wir die pq-Formel nicht anwenden, weil wir dazu ein Polynom 2-ten Grades bräuchten. Es gibt aber einen Trick. Alle ganzzahligen Nullstellen eines Polynoms müssten Teiler der Zahl ohne \(x\) sein. Die Zahl ohne \(x\) ist die \((-2)\) und ihre Teiler sind \(\pm1\) und \(\pm2\). Die können wir einfach mal ausprobieren. Und siehe da, wir finden 3 Nullstellen bei$$x_1=-1\quad;\quad x_2=1\quad;\quad x_3=2$$Da ein Polynom 3-ten Grades maximal 3 Nullstellen hat, kann es keine weitere Nullstelle geben. Also haben wir 3 Kandidaten für Extrema.
Wir prüfen nun die Art der Extrema, indem wir die Kandidaten in die 2-te Ableitung einsetzen:
$$f''(x)\;\;=-3x^2+2\cdot2x+1=\underline{-3x^2+4x+1}$$$$f''(-1)=-6<0\implies\text{Maximum bei }x_1=-1$$$$f''(1)\;\;\,=2>0\;\;\;\implies\text{Minimum bei }x_2=1$$$$f''(2)\;\;\,\,=-3<0\implies\text{Maximum bei }x_3=2$$
$$\text{Max}\left(-1\bigg|\frac{19}{12}\right)\quad;\quad\text{Min}\left(1\bigg|-\frac{13}{12}\right)\quad;\quad\text{Max}\left(2\bigg|-\frac{2}{3}\right)$$
~plot~ -x^4/4+2/3*x^3+x^2/2-2x ; {-1|19/12} ; {1|-13/12} ; {2|-2/3} ; [[-3|3|-4|2]] ~plot~
