Hallo
Dein Vorgehen a durch b zu ersetzen, hatte bei mir auch zu vielen Fehlern geführt, die ich jetzt zu so später Stunde nicht finde, daher ersetze einfacher b durch a.
44. Ein Quader mit positiven Seitenlängen a, a, b (also mit quadratischer Grundfläche) habe ein Volumen von 100 cm. Für welche Werte von a und b nimmt die Ober fläche einen Extremwert an? Handelt es sich um ein Minimum oder Maximum? (mit Nachweis)
$$b=V/a^2$$$$b=100/a^2$$$$O(a)=2a^2+4ab$$$$O(a)=2a^2+400/a$$$$O'(a)=4a-400/a^2=0$$$$a^3=100$$$$a=b=100^{\frac{1}{3}}≈ 4,6416 cm$$
$$O''(a)=4+800/a^3$$
Da a>0 ist es ein Minimum
Die Alternative
$$a=(\frac{100}{b})^{0,5}$$$$O(b)=\frac{200}{b}+4b*(\frac{100}{b})^{0,5}=$$$$200b^{-1}+40*b^{0,5}$$$$O'(b)=-200b^{-2}+20*b^{-0,5}=0$$$$10b^{-2}=b^{-0,5}$$$$10=b^{1,5}$$$$b=a=100^{\frac{1}{3}}≈ 4,6416 cm$$$$O''(b)=400b^{-3}-10*b^{-1,5}$$$$O''(4,6415)=400*4,6415^{-3}-10*4,6416^{-1,5}>0$$ Es ist ein Minimum .
Ich konnte nicht schlafen und hoffe, dass es jetzt stimmt, doch die Alternative ist nicht zu empfehlen.
