Beweisen Sie die folgenden Aussagen zum Matrix-Exponential....

Question

Aufgabe:

Aussagen zum Matrix-Exponential.
Beweisen Sie die folgenden Aussagen zum Matrix-Exponential.
a) Ist P ∈ ℝ^k×k eine Projektionsmatrix, d.h. P² = P, dann gilt e^P = Id + (e − 1)P mit der Einheitsmatrix Id ∈ ℝ^k×k .

b) Ist A ∈ ℝ^k×k und f : ℝ → ℝ eine stetig differenzierbare Funktion, dann folgt

$\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \mathrm{e}^{f(t) A}\right|_{t=t_{0}}=f^{\prime}\left(t_{0}\right) A \mathrm{e}^{f\left(t_{0}\right) A}$

^{für beliebiges t}₀ ^∈ ℝ.

^{könnte mir jemand helfen bitte?}

^{Vielen Dank im Voraus! :)}

Answer 1

a)Nach Def. gilt $$e^P =\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{P^n}{n!}$$
wegen P^n=P für n und P^0= Einheitsmatrix, also Abb id
$$=id+ \sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{P}{n!} =id + P*\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!} =id + P*(e-1)$$

Weil bei der e-Reihe die 1 fehlt.

Comments

Danke erstmal für deine tolle Antwort! :)

Könntest du mir bitte bei b) helfen?

Vielen Dank im Voraus!..

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Hallo,

sollte es nicht eher n! statt n heißen?

Gruß

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Oh ja, Danke. Ich korrigiere mal.

Bei b) habe ich noch keinen Plan.

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Für b) einfach die Reihe aufstellen und gliedweise differenzieren.

Gruß