Aloha :)
$$a_{n+1}\coloneqq\sqrt{1+\frac{2}{3}a_n^2}\quad;\quad a_1\coloneqq 1$$
1) Beschränktheit
\(a_n^2\) ist eine Quadratzahl \(\ge0\), daher gilt als Abschätzung nach unten:$$a_{n+1}=\sqrt{1+\frac{2}{3}a_n^2}\ge\sqrt{1+0}=1\quad\checkmark$$Die Abschätzung nach oben \(a_n<\sqrt3\) zeigen wir durch vollständige Induktion. Die Verankerung bei \(n=1\) ist klar, weil \(a_1=1<\sqrt3\) vorgegeben ist. Im Induktionsschritt können wir daher annehmen, dass \(a_n^2<3\) ist, sodass:$$a_{n+1}^2=\left(\sqrt{1+\frac{2}{3}a_n^2}\right)^2=1+\frac{2}{3}\,a_n^2<1+\frac{2}{3}\cdot3=3\implies a_{n+1}<\sqrt3\quad\checkmark$$Für alle Glieder der Folge gilt also:$$1\le a_n<\sqrt3\quad;\quad n\in\mathbb N$$
2) Monotonie
Wegen \(a_n<\sqrt3\) ist \(a_n^2<3\) und \(\frac{1}{a_n^2}>\frac{1}{3}\). Damit können wir wie folgt argumentieren:$$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\sqrt{1+\frac{2}{3}a_n^2}}{\sqrt{a_n^2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{2}{3}a_n^2}{a_n^2}}=\sqrt{\frac{1}{a_n^2}+\frac{2}{3}}>\sqrt{\frac{1}{3}+\frac{2}{3}}=\sqrt1=1$$Daher ist \(a_{n+1}>a_n\) und die Folge streng monoton wachsend.
3) Grenzwert
Jede monotone beschränkte Folge konvergiert, also auch diese hier. Mit Hilfe der Grenzwertsätze und der Stetigkeit der Wurzelfunktion gilt:$$\lim\limits_{n\to\infty} a_{n+1}=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt{1+\frac{2}{3}a_n^2}=\sqrt{1+\frac{2}{3}\left(\lim\limits_{n\to\infty}a_n\right)^2}$$Wir setzen den Grenzwert \(a\coloneqq\lim\limits_{n\to\infty}a_n\) ein:$$a=\sqrt{1+\frac{2}{3}a^2}\implies a^2=1+\frac{2}{3}a^2\implies\frac{1}{3}a^2=1\implies a^2=3\implies a=\sqrt3$$Die negative Wurzel fällt als Lösung weg, da \(a_n\ge1\) gilt.
