Induktion einer Ungleichung 2^n+3^n<4^n

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie folgende Aussage:

2^n+3^n< 4^n für n>=2

Ansatz:

Induktionsanfang: A(2)

13<16

Induktionsannahme:

2^n+3^n< 4^n

Induktionsschritt:

2^(n+1) + 3^(n+1) < 4^(n+1)

2^n + 1.5* 3^n < 4^n

2^n*2+3*3^n< 4^n

2^(n+1)+3^(n+1)< 4^(n+1)

q.e.D

Würde das so passen?

Answer 1

Nein. Du musst stufenweise vorgehen, so dass du von deinem Anfang also

2ⁿ⁺¹ + 3ⁿ⁺¹  < ... < 4ⁿ⁺¹ . Immer weiter umformen bis du die Induktionsvorausetzung benutzen kannst und dann am Ende ankommst.

Das, was du gemacht hast, ist falsch, da du nur auf einen Seite der Ungleichung operiert hast, du aber auf beiden Seiten die Rechenschritte ausführen musst. ^^