Integral lösen mit Koordinatensystemwechsel

Question

Aufgabe:

$$\int \limits_{-\infty}^{\infty}{e}^{{-x}^{2}}dx$$

Hinweis: Berechnen Sie I² und wechseln Sie das Koordinatensystem.

Problem/Ansatz:

Eigentlich steht die Lösung ja schon in der Aufgabe, ich bin mir aber nicht sicher in welches Koordinatensystem ich wechseln sollte. Es wurden Polar-, Zylinder- und Kugelkoordinaten genauer behandelt, aber ich denke nicht das diese Systeme hier passen.

Ich hoffe, es kann jemand helfen:)

Comments

Naja was machen denn Polar-, Zylinder- und Kugelkoordinaten aus? Damit könntest du dir Frage auch ganz leicht selbst beantworten.

Gruß Klaus

Answer 1

Aloha :)

$$I^2=I\cdot I=\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx\cdot\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-y^2}dy=\int\limits_{-\infty}^\infty\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-x^2}e^{-y^2}\,dx\,dy=\int\limits_{-\infty}^\infty\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-(x^2+y^2)}\,dx\,dy$$

Wir gehen nun über zu Polarkoordinaten:

$$\binom{x}{y}=\binom{r\cos\varphi}{r\sin\varphi}\quad;\quad dx\,dy=r\,dr\,d\varphi\quad;\quad r\in[0;\infty)\quad;\quad \varphi\in[0;2\pi]$$Die haben nämlich den Charme, dass \(x^2+y^2=r^2\) gilt und wir durch die Verzerrung des Flächenelements \(dx\,dy=r\,dr\,d\varphi\) den Faktor \(r\) vor die \(e\)-Funktion schreiben können, wodurch sich das Integral sofort hinschreiben lässt:

$$I^2=\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\int\limits_0^\infty r\,e^{-r^2}\,dr=2\pi\cdot\left[-\frac{e^{-r^2}}{2}\right]_0^\infty=2\pi\left(-0+\frac{e^{0}}{2}\right)=2\pi\cdot\frac{1}{2}=\pi$$Damit ist:$$\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx=\sqrt\pi$$