Berechnen Sie für f(x)=\sqrt{2+x} die Taylorpolynome 2 .

Question

Ich möchte folgende Aufgabe berechnen aber stocke schon bei der n-ten Ableitung von f.

Könnte mir hier jemand helfen?
Vielen Dank!

Berechnen Sie für \( f(x)=\sqrt{2+x} \) die Taylorpolynome 2 . und 4 . Grades mit Entwicklungspunkt \( x_{0}=0 \). Bestimmen Sie dazu zunächst die \( n \) -te Ableitung von \( f \). Schätzen Sie den Approximationsfehler des Taylorpolynom 2. Grades für \( |x|<\frac{1}{2} \) ab.

Text erkannt:

Berechnen Sie für \( f(x)=\sqrt{2+x} \) die Taylorpolynome 2 . und 4 . Grades mit Entwicklungspunkt \( x_{0}=0 \). Bestimmen Sie dazu zunächst die \( n \) -te Ableitung von \( f \). Schätzen Sie den Approximationsfehler des Taylorpolynom 2. Grades für \( |x|<\frac{1}{2} \) a

Answer 1

Hallo, bevor man dir hier (eventuell) eine fertige Lösung auf den Teller serviert (ohne das du selbst darauf gekommen bist), gehe doch kleinschrittig vor.

Mache also zunächst die ersten Ableitungen. Kannst du eine Struktur erkennen?

Comments

Meinst du Struktur in den Ergebnissen?
Ich erkenne da nichts.

Habe als f'(x) = \( \frac{1}{2\sqrt{x+2}} \)

und f''(x) = - \( \frac{1}{4(x+2)^(3/2)} \)

Sorry, ich bekomm das hier mit der Formatierung noch nicht so hin :')

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Sieht schonmal gut aus. :-)

Mach doch mal zb bis zur 5. Ableitung weiter, weil bei zwei Ableitungen sieht man hier noch nicht wirklich etwas.

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Da habe ich als

3. Ableitung = \( \frac{3}{8(x+2)^{\frac{5}{2}}} \)

4. Ableitung = \( -\frac{15}{16(x+2)^{\frac{7}{2}}} \)

5. Ableitung = \( \frac{105}{32(x+2)^{\frac{9}{2}}} \)

Wobei ich mir bei der letzten Umleitung nicht ganz sicher bin.

Aufgefallen ist mir, dass im Potenzbruch der Zähler sich immer um 2 erhöht, im großen Bruch verdoppelt sich der Wert im Nenner immer (8, 16, 32) und der Zähler wird zur 3. Ableitung erst mit 3 multipliziert, dann mit 5 und dann mit 10.

Aber ich weiß nicht wie ich damit auf eine n-te Ableitung komme :')

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Aber du bist auf dem Weg! :)

3. Ableitung erst mit 3 multipliziert, dann mit 5 und dann mit 10.

Nicht ganz. Richtig wäre:

0.Ableitung mal 1

1.Ableitung mal 1

2.Ableitung mal 3

3.Ableitung mal 5

4.Ableitung mal 7

Also ein Produkt von der Form \( p=1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot ... \) für den Zähler des Bruches.

Und dann musst du noch ein Vorzeichenwechsel \(v(n)\) einbauen. Im Grunde hast du es fast schon. Deine n-te Ableitung hat also die grundlegende Gestalt

\(f^{(n)}(x)=\frac{v(n)\cdot p(n)}{a(n)\cdot (2+x)^{\frac{b(n)}{2}}}\)

\(a(n)\) und \(b(n)\) hast du schon hier in Worten beschrieben:

Potenzbruch der Zähler sich immer um 2 erhöht, im großen Bruch verdoppelt sich der Wert im Nenner immer (8, 16, 32).

Jetzt musst du noch \(v(n)\) und \(p(n)\) ermitteln.

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Hey!

Also ich hab das ausprobiert aber ich komme da partout nicht weiter.
Muss ich es umformen? Gibt es ne formel? Ich hab das echt nicht hinbekommen :')

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\(v(n)\) ist ja nur alternierend. Für die andere Folge gilt

\(p(n)=1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot...\cdot (2n-1)\). Ein paar Testeinsetzungen ergeben:

\(p(1)=1=2\cdot 1-1\\p(2)=1\cdot 3=1\cdot (2\cdot 2-1)=3\\p(3)=1\cdot 3\cdot 5=1\cdot 3\cdot (2\cdot 3-1)=15\\p(4)=1\cdot 3\cdot 5\cdot 7=1\cdot 3\cdot 5\cdot (2\cdot 4-1)=105\). Von den Werten sieht das erstmal gut aus. Später muss du nur noch eine passende Indexverschiebung einbauen, aber das ist erstmal zweitrangig, da du zunächst eine explizite Bildungsvorschrift haben willst. Jetzt kannst du versuchen, die Folge zu umschreiben:

\(p(n)=1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot...\cdot (2n-1)=\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot...\cdot (2n-1)\cdot (2n)}{2\cdot 4 \cdot 6\cdot 8\cdot...\cdot (2n)}\\\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot...\cdot (2n-1)\cdot (2n)}{(2\cdot 1)\cdot (2\cdot 2) \cdot (2\cdot 3)\cdot (2\cdot 4)\cdot...\cdot (2\cdot n)}\). Wie kannst du jetzt weitermachen? :-)