Zeigen Sie, dass f injektiv ist.

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Funktion \( f: I \rightarrow \mathbb{R} \operatorname{mit} f(x)=x^{x} \), wobei \( I=\left(e^{-1}, \infty\right) \) ist.
a) Zeigen Sie, dass \( f \) injektiv ist. Sie dürfen wie in der Vorlesung die Tatsache verwenden, dass aus \( f^{\prime}>0\left(f^{\prime}<0\right) \) folgt, dass \( f \) streng monoton steigend (fallend) ist.
b) Bestimmen Sie die Bildmenge \( f(I) \). Zeigen Sie, dass \( f \) eine Umkehrfunktion \( g: f(I) \rightarrow I \) besitzt. Sie brauchen keine Funktionsvorschrift für \( g \) angeben.
c) Bestimmen Sie \( g^{\prime}(1) \) mit Hilfe der Ableitungsregel für Umkehrfunktionen.
d) Leiten Sie die Gleichung \( g(x)^{g(x)}=x \) zweimal ab und benutzen Sie ihr Ergebnis, um \( g^{\prime \prime}(1) \) zu bestimmen.

Comments

Hallo,

weißt Du, wie man f differenziert?

Gruß

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Nicht so ganz

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Man schreibt:

$$x^x=\exp(x \ln(x))$$

und differenziert dies nach den einschlägigen Regeln.

Gruß

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wie mach ich die aufgabe c)? hast du vlt einen tipp für mich?

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Man schreibt:

$$x^x=\exp(x \ln(x))$$

und differenziert dies nach den einschlägigen Regeln.

Gruß

Zur c). Schreib doch mal die Ableitungsregel für die Umkehrfunktion hierhin, und es ist f(1)=1