dann berechne man für d= 0,5 m das Alter t(d)! Wie lautet d(t), die Umkehrfunktion?

Question

Aufgabe:

Das Alter eines Nadelbaumes kann man aus der Dicke seines Stammes berechnen. Wenn gilt t(d) = 20* ln(( 20*d)/(1 - d))  - t ..Alter, d..Durchmesser des Baumes in Metern -
dann berechne man für d= 0,5 m das Alter t(d)! Wie lautet d(t), die Umkehrfunktion?

Vielen dank!

Answer 1

t(d) = 20* ln(( 20*d)/(1 - d))

d=0,5

t(0,5)= 20* ln(( 20*0,5)/(1 - 0,5))=20* ln(20)=59,9  Also 60 Jahre.

Umkehrung   20* ln(( 20*d)/(1 - d)) = a

                      ln(( 20*d)/(1 - d)) = a/20

                      ( 20*d)/(1 - d) =  e^(a/20)

                    20d = (1-d)* e^(a/20)

                     20d =  e^(a/20) - e^(a/20) * d

               20d + e^(a/20) *d =  e^(a/20)

                   (20 + e^(a/20)) *d =  e^(a/20)

                                        d =   e^(a/20)  /        (20 + e^(a/20))

Answer 2

Text erkannt:

\( t(d)=20 \cdot \ln \left(\frac{20 \cdot d}{1-d}\right) \)
\( d=0,5 m \) das Alter \( t(d) \)
\( t(0,5)=20 \cdot \ln \left(\frac{20 \cdot 0,5}{1-0,5}\right)=20 \cdot \ln \left(\frac{10}{0,5}\right)=20 \cdot \ln (20) \approx 59,9 \)
Der Baum ist ungefähr 60Jahre alt.
Wie lautet \( d(t), \) die Umkehrfunktion?
\( t(d)=20 \cdot \ln \left(\frac{20 \cdot d}{1-d}\right) \)
\( \frac{t(d)}{20}=\ln \left(\frac{20 \cdot d}{1-d}\right) \mid e \)
\( e^{\frac{t(d)}{20}}=e^{\ln \left(\frac{20 \cdot d}{1-d}\right)} \)
\( e^{\frac{t(d)}{20}}=\frac{20 \cdot d}{1-d} \)
\( t \) und \( d \) tauschen:
\( e^{\frac{d(t)}{20}}=\frac{20 \cdot t}{1-t} \mid \ln \)
\( \ln \left(e^{\left.\frac{d(t)}{20}\right)}=\frac{\ln (20 \cdot t)}{1-t}\right. \)
\( d(t)=20 \cdot \frac{\ln (20 \cdot t)}{1-t} \)