Ableitungen und Funktionen berechnen

Question

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Aufgabe 3
Gegeben sind die Funktionen \( u(x)=x^{2} \) und \( v(x)=2 x+5 \).
a) Stelle die Funktion \( g(x)=u(x)+v(x) \) auf und leite diese Funktion dann ab.
Um die Ableitung einer Summe zu bestimmen, werden beide Teile abgeleitet und danach addiert. Man kann das mathematisch aufschreiben als:
$$ g^{\prime}(x)=u^{\prime}(x)+v^{\prime}(x) $$
b) Stelle die Funktion \( f(x)=u(x) \cdot v(x) \) auf. Berechne die Ableitung, indem du so vorgehst wie in Aufgabe 1: Bilde zunächst einzeln die Ableitungen der Funktionen \( u \) und \( v \) und multipliziere beide Ableitungen miteinander.
c) Betrachte die Graphen der Funktionen \( f(x) \) und deiner gebildeten Ableitung im Taschenrechner und beschreibe, was dir zum Zusammenhang der beiden Funktionen auffällt.
d) In der Formelsammlung steht für die Ableitung eines Produkts folgende Regel:
$$ f^{\prime}(x)=u^{\prime}(x) \cdot v(x)+u(x) \cdot v^{\prime}(x) $$
Leite die Funktion \( f \) mit Hilfe dieser Regel erneut ab und betrachte wieder beide Graphen. Überprüfe die Regel an zwei weiteren selbstgewählten Beispielen. (Achte darauf, dass du Funktionen wählst, die aus einem Produkt von zwei Funktionen besteht!)

Problem/Ansatz:

leider komme ich bei dieser Aufgabe nicht mehr weiter:(

Meine Probleme:

a)Ich habe die Funktion aufgestellt und als Ergebnis 2x+2 (ich weiß nicht ob das richtig ist)

b) Ergebnis: 2x*2 ( ich weiß nicht ob es richtig ist)

d)Ergebnis: 2x^2+4x+5 (nicht sicher ob es richtig ist)

d) ich verstehe leider auch nicht genau, wie ich die anderen Beispiele aufbauen soll

!!

Answer 1

Gegeben sind die Funktionen \( u(x)=x^{2} \) und \( v(x)=2 x+5 \).
a) Stelle die Funktion \( g(x)=u(x)+v(x) \) auf und leite diese Funktion dann ab.

g(x)  =  \( x^{2} \) +2x+5

g´ (x) =  2x+2

b) Stelle die Funktion f(x)= u(x) • v(x) auf. Berechne die Ableitung, indem du so vorgehst wie in Aufgabe 1: Bilde zunächst einzeln die Ableitungen der Funktionen \( u \) und \( v \) und multipliziere beide Ableitungen miteinander.

f(x)= \( x^{2} \)•(2x+5)

u´ = 2x  und   v´ = 2

u´ • v´ =  2x •2 = 4x

d) In der Formelsammlung steht für die Ableitung eines Produkts folgende Regel:

\(f^{\prime}(x)=u^{\prime}(x) \cdot v(x)+u(x) \cdot v^{\prime}(x)\)

f(x)= \( x^{2} \)•(2x+5)

f ´(x) =  2x•  (2x+5)  +  \( x^{2} \)•2=  4x^2+10x+  2  x^2=6x^2+10x

Probe mittels Ausmultiplikation:

f(x)= \( x^{2} \)•(2x+5)= 2x^3+5x^2

f´(x)=6x^2+10x

d) Überprüfe die Regel an zwei weiteren selbstgewählten Beispielen. (Achte darauf, dass du Funktionen wählst, die aus einem Produkt von zwei Funktionen besteht!)

z.B. f(x)=4x^3*(2x^2-5x)

mfG

Moliets

Comments

Vielen Dank!!! Eine sehr ausführliche und hilfreiche Antwort!