Differenzierbarkeit einer Funktion an jeder Stelle

Question

Aufgabe:

Zu zeigen ist: An welchen Stellen ist f: \(\mathbb{R}\) --> \(\mathbb{R}\) , x |----> \(\ exp(x^2+1)^3 \) differenzierbar.

Problem/Ansatz:

Ich habe mir mal die Funktion plotten lassen und gesehen, dass die Funktion an jeder Stelle diff. ist aber ich wüsste nicht wie ich das in einem Beweistext unterbringe. Uns wurde gezeigt wie man Differenzierbarkeit an einer Stelle zeigt aber nicht konkret Differenzierbarkeit an jeder Stelle.

Kann mir einer zeigen, wie ich da vorangehe.

Dankeschön

Comments

Die Differenzierbarkeit für alle Stellen kann man zeigen, in dem man seine Stelle einfach allgemein hält und mit Definition arbeitet. Andernfalls darf man typischer Weise damit argumentieren, dass deine Funktion sich aus stetigen Funktionen zusammensetzt. Das musst du aber deiner Aufgabe entnehmen, ob du es explizit über die Definition oder einfach über die Verkettung diffbarer Funktion beweisen sollst. :)

Answer 1

\(x\mapsto 1\) ist differenzierbar, weil konstante Funktionen differenzierbar sind.

\(x\mapsto x^2\) ist differenzierbar, weil Potenzfunktionen differenzierbar sind.

\(x\mapsto x^2+1\) ist differenzierbar laut Summenregel.

\(x\mapsto \exp\left( x^2+1\right)\) ist differenzierbar laut Kettenregel, weil die Exponentialfunktion differenzierbar ist.

\(x\mapsto \exp\left( x^2+1\right)^3\) ist differenzierbar laut Kettenregel, weil weil Potenzfunktionen differenzierbar sind.

Comments

Das macht es auf jeden Fall viel übersichtlicher danke!

Mein Problem ist es, dass ich es mit dem Differenzenquotient beweisen also richtig mit: Lim ( h->0)   e^{((x+h)^2+1)^3} - e^{(x^2+1)^3} / h zeigen... hättest du eine Idee wie ich das zeige?