Bestimmen Sie den Zerfällungskörper und die Galois-Gruppe

Question

Aufgabe:

Sei \( f = (X^3 - 2)(X^2 - 5) \in \mathbb{Q}[X]\).

Bestimmen Sie den Zerfällungskörper \( L \subseteq \mathbb{C} \) von f und den Grad \( [L:\mathbb{Q}] \).

Geben Sie alle Elemente der Galois-Gruppe \( Gal(L:\mathbb{Q}) \) an und beweisen Sie, dass \( Gal(L:\mathbb{Q}) \tilde{=} \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \sum_3\) gilt, wobei \( \sum_3 \) die symmetrische Gruppe mit drei Elementen ist.

Answer 1

Für den ersten Faktor betrachte das letzte Beispiel bei

https://de.wikipedia.org/wiki/Zerf%C3%A4llungsk%C3%B6rper#Beispiele

und für den 2. Faktor ist der Zerfällungskörper ℚ(√5).

Comments

Danke für die Antwort.

Die Zerlegung in Linearfaktoren ist also \( (X - \sqrt{5})(X + \sqrt{5})(X - \sqrt[3]{2})(X - \sqrt[3]{2}e^{\frac{2 \pi i}{3}})(X - \sqrt[3]{2}e^{\frac{4 \pi i}{3}}) \). Das Minimalpolynom von \( \sqrt{5} \) ist \( (X^2 - 5) \) damit ist \( [\mathbb{Q}(\sqrt{5}):\mathbb{Q}] = 2 \). Das Minimalpolynom von \( \sqrt[3]{2} \) ist \( X^3 - 2 \), damit ist \( [\mathbb{Q}(\sqrt{5})(\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}] = 2 \cdot 3 = 6 \).

Um den Zerfällungskörper zu bestimmen muss ich noch \( e^{\frac{2 \pi i}{3}} \) adjungieren, also \( \mathbb{Q}(\sqrt{5}, \sqrt[3]{2}, e^{\frac{2 \pi i}{3}}) \). Wie kann ich davon den Grad bestimmen? Kann ich nochmal mit dem Minimalpolynom argumentieren?

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Ich glaube schon, bin mir aber nicht ganz sicher.

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Bisher ist ja \( \mathbb{Q}(\sqrt{5}, \sqrt[3]{2}) \subseteq \mathbb{R}\), also \( e^{\frac{2 \pi i}{3}} \notin \mathbb{Q}(\sqrt{5}, \sqrt[3]{2}) \). Das Minimalpolynom ist \(X^2 + X +1\), also ist \( [\mathbb{Q}(\sqrt{5}, \sqrt[3]{2}, e^{\frac{2 \pi i}{3}}):\mathbb{Q}] = 2 \cdot 3 \cdot 2 = 12 \)

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Also wenn du zeigst, dass die Gesamterweiterung galoissch ist, dann kannst du den Grad 12 (Grad 12 ist glaube ich auch richtig. Die Aufgabenstellung gibt dir den Hinweis darauf, weil die Gruppe S₃ x ℤ₂ die Ordnung 12 hat.) der Erweiterung benutzen um festzustellen (mit Satz 4.3.2 (b) aus dem Skript), welche Ordnung die Automorphismengruppe hat und danach den Satz von Cayley, um zu zeigen, dass die Automorphismengruppe (die Galois-Gruppe ist definiert als diejenige Gruppe, die den Grundkörper festlässt und alle weiteren Elemente permutiert) nichtabelsch ist, also die Verknüpfungsreihenfolge der einzelnen Nullstellenautomorphismen eine Rolle spielt und nicht zyklisch ist, also die Komposition eines Elementes mit sich selbst nicht schon alle 12 Elemente erzeugt.

Mit der Liste "https://de.wikipedia.org/wiki/Liste_kleiner_Gruppen" bleibt dann nur noch eine Möglichkeit, wenn man bedenkt, dass [ℚ(\( \sqrt{5} \), \( \sqrt[3]{2} \), x ):ℚ]=6*2 ist.(Frag dich hier, warum ich die 6 dick geschrieben habe. :P)

Alles wie immer ohne Gewähr, ich sitze auch noch dran. ;)

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Danke für die Antwort.
Also ich habe jetzt gezeigt dass \( |Gal(\mathbb{Q}(\sqrt{5}, \sqrt[3]{2}, e^{\frac{2 \pi i}{3}}) :\mathbb{Q})| =12\) ist. Mit dem Satz von Cayley weiß ich, dass die Galois-Gruppe isomorph zu einer Untergruppe von \( \sum_{12} \) ist. Wie genau kann ich jetzt zeigen dass die Galois-Gruppe nichtabelsch ist? Kann ich das an den adjungierten Elementen bereits erkennen?
Zu der 6: meinst du dass ich einen Zwischenkörper vom Grad 6 betrachten soll und dazu eine Untergruppe der Galois-Gruppe?

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Mit dem Satz von Cayley weißt du sogar, dass die Galois-Gruppe isomorph zu irgendeiner Untergruppe der S_n ist und nicht nur der S₁₂ .

Genau, nach meiner Auffassung hat der Gradsatz mit Untergruppenstrukturen zu tun. Eventuell schaust du dir nochmal den Satz von Lagrange an, ich weiß aber nicht, ob das was bringt.

Ich hab in meiner Lösung auch nur eine Lösungsskizze angegeben. Da die Automorphismen ja irgendwas mit den Nullstellen des Minimalpolynoms deines primitiven Elementes machen (Es also 12 gibt.) und ansonsten ℚ fixieren (sonst gäbe es auch keine Automorphismen) kannst du ja mal einfach probieren dir zwei dieser 12 Automorphismen auszudenken (im Sinne von Permutationen) und die Komposition bilden. Dann tauscht die Positionen und schaust, ob das gleiche rauskommt. Bei richtiger Wahl der Automorphismen und mit ein bisschen Glück kannst du dann vll. ein Gegenbeispiel angeben und somit widerlegen, dass die Gruppe abelsch ist. Viel Glück! :P