Für die Abgeschlossenheit musst du zeigen, dass für beliebige r / n ! ∈ H n und s / n ! ∈ H n gilt:
r / n ! + s / n ! ein Element von H n ist.
Beweis:
Seien r / n ! ∈ H n und s / n ! ∈ H n.
Dann gilt aufgrund der Definition von H n :
r ∈ Z und s ∈ Z.
Außerdem gilt (Definition der Addition in Q):
r / n ! + s / n ! = ( r + s ) / n !
Wegen r ∈ Z und s ∈ Z ist auch ( r + s ) ∈ Z und somit ist ( r + s ) / n ! ∈ H n
Assoziativität
Zu zeigen: Für beliebige a, b, c ∈ H n gilt:
( a + b ) + c = a + ( b + c )
Beweis:
Seien
a = r / n ! , b = s / n ! , c = t / n ! mit r, s, t ∈ Z .
Dann gilt:
( a + b ) + c
= ( r / n ! + s / n ! ) + t / n !
= ( r + s ) / n ! + t / n !
= ( ( r + s ) + t ) / n !
Wegen der Assoziativität der Addition in Z:
= ( r + ( s + t ) / n !
= r / n ! + ( s + t ) / n !
= a + ( b + c )
Neutrales Element e:
Zu zeigen ist, dass es ein e = x / n ! ∈ H n gibt, sodass für alle a ∈ H n gilt:
a + e = a
Beweis:
a + e = a
<=> m / n ! + x / n ! = m / n !
<=> ( m + x ) / n ! ) = m / n !
<=> m + x = m
<=> x = ( m - m ) = 0
<=> e = 0 / n !
Da 0 ∈ Z ist, ist e ∈ H n gemäß Definition von H n
Es existiert also ein neutrales Element e in H n ; dieses ist e = 0 / n !
Inverses Element:
Zu zeigen ist: Zu jedem a = m / n ! ∈ H n existiert ein a - 1 = ( x / n ! ) ∈ H n , sodass gilt: a + a - 1 = e
Beweis:
a + a - 1 = e = 0 / n !
<=> m / n ! + x / n ! = 0 / n !
<=> ( m + x ) / n ! = 0 / n !
<=> m + x = 0
<=> x = 0 - m = - m
<=> a - 1 = - m / n !
Mit m ∈ Z ist auch - m ∈ Z . Damit ist a - 1 = - m / n ! ∈ H n
Es gibt also zu jedem a = m / n ! ∈ H n ein inverses Element a - 1 ∈ H n ; dieses ist a - 1 = - m / n !
Untergruppe:
Zu zeigen ist: H n ist Untergruppe von H n + 1
Dass H n eine Gruppe ist wurde oben schon bewiesen. Es bleibt daher noch zu zeigen, dass H n eine Teilmenge von H n + 1 ist, also:
H n = { m / n ! | m ∈ Z } ⊆ H n + 1 = { k / ( n + 1 ) ! | k ∈ Z }
Beweis:
H n ⊆ H n + 1
<=> ∀a = m / n ! ∈ H n : a ∈ H n + 1
<=> ∀ m ∈ Z ∃ k ∈ Z : m / n ! = k ( n + 1 ) !
<=> ∀ m ∈ Z ∃ k ∈ Z : m * ( n + 1 ) ! = k * n !
<=> ∀ m ∈ Z ∃ k ∈ Z : m * n ! * ( n + 1 ) = k * n !
<=> k = m * ( n + 1 )
Mit m ∈ Z und n ∈ N ist auch k = m * ( n + 1 ) ∈ Z und somit k / ( n + 1 ) ! ∈ H n + 1
Also ist
a = m / n ! = m * ( n + 1 ) / ( n + 1 ) ! ∈ H n + 1
und daher gilt H n ⊆ H n + 1
Also ist H n eine Untergruppe von H n + 1
