Nein, du sollst allgemein rechnen, also formal mit den Buchstaben.
Für den Flächeninhalt A eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten a und b gilt doch :
A = a * b / 2
Außerdem gilt nach Pythagoras:
a 2 + b 2 = c 2
<=> a 2 = c 2 - b 2
<=> a = √ ( c 2 - b 2 )
Setzt man dies in die Flächeninhaltsformel (siehe oben) ein, so erhält man:
A = √ ( c 2 - b 2 ) * b / 2
Mit einer vorgegebenen Länge C der Hypotenuse sieht das so aus:
A = √ ( C 2 - b 2 ) * b / 2
wobei C eine Konstante ist.
Der Flächeninhalt A hängt nun also nur noch von dem Wert von b, also der Länge der Kathete b ab. A ist eine Funktion von b, also kann man auch schreiben:
A ( b ) = √ ( C 2 - b 2 ) * b / 2
Der Wert dieser Funktion wird dort maximal wo A ( b ) einen Hochpunkt hat. Einen solchen findet man, indem man A ( b ) nach b ableitet und die Ableitung gleich Null setzt:
A ' ( b ) = ( 1 / 2 ) * ( √ ( C 2 - b 2 ) + b * ( - 2 b / ( 2 √ ( C 2 - b 2 ) ) ) )
= ( 1 / 2 ) * ( √ ( C 2 - b 2 ) - b 2 / √ ( C 2 - b 2 ) )
A ' ( b ) = 0
<=> ( 1 / 2 ) * ( √ ( C 2 - b 2 ) - b 2 / √ ( C 2 - b 2 ) ) = 0
<=> √ ( C 2 - b 2 ) - b 2 / √ ( C 2 - b 2 ) = 0
<=> C 2 - b 2 - b 2 = 0
<=> C 2 = 2 b 2
<=> b 2 = C 2 / 2
<=> b = C * √ ( 1 / 2 )
Wegen a 2 = C 2 - b 2 ergibt sich für a:
a 2 = C 2 - C 2 / 2 = ( 1 / 2 ) C 2
<=> a = C * √ ( 1 / 2 )
Das Dreieck mit einer Hypotenuse der Länge C hat also dann den maximalen Flächeninhalt, wenn für seine Katheten a bzw. b gilt:
a = b = C * √ ( 1 / 2 ) = C / √ 2