Fläche ohne das etwas gegeben ist!

Question

"Gegeben sei die Hypotenuse c eines rechtwinkeligen Dreiecks. Berechnen Sie die beiden Katheten a und b so, dass das Dreieck den größten Flächeninhalt hat "
Das ist die Aufgabe, meine Frage ist es, soll ich jetzt irgend einen Wert für die Hypotenuse ausdenken und entsprechend die Seiten a und b bestimmen oder wie soll ich diese Aufgabenstellung verstehen :(
Wär für einen Tipp dankbar

Answer 1

Nein, du sollst allgemein rechnen, also formal mit den Buchstaben.

Für den Flächeninhalt A eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten a und b gilt doch :

A = a * b / 2

Außerdem gilt nach Pythagoras:

a ² + b ² = c ²

<=> a ² = c ² - b ²

<=> a = √ ( c ² - b ² )

Setzt man dies in die Flächeninhaltsformel (siehe oben) ein, so erhält man:

A = √ ( c ² - b ² ) * b / 2

Mit einer vorgegebenen Länge C der Hypotenuse sieht das so aus: 

A = √ ( C ² - b ² ) * b / 2

wobei C eine Konstante ist.

Der Flächeninhalt A hängt nun also nur noch von dem Wert von b, also der Länge der Kathete b ab. A ist eine Funktion von b, also kann man auch schreiben:

A ( b ) = √ ( C ² - b ² ) * b / 2

Der Wert dieser Funktion wird dort maximal wo A ( b ) einen Hochpunkt hat. Einen solchen findet man, indem man A ( b ) nach b ableitet und die Ableitung gleich Null setzt:

A ' ( b ) = ( 1 / 2 ) * (  √ ( C ² - b ² ) + b * ( - 2 b  /  ( 2 √ ( C ² - b ² ) ) ) )

= ( 1 / 2 ) * ( √ ( C ² - b ² ) - b ² /  √ ( C ² - b ² ) )

A ' ( b ) = 0

<=> ( 1 / 2 ) * ( √ ( C ² - b ² ) - b ² / √ ( C ² - b ² ) ) = 0

<=> √ ( C ² - b ² )  - b ² / √ ( C ² - b ² )  = 0

<=> C ² - b ² - b ²  = 0

<=> C ² = 2 b ²

<=> b ² = C ² / 2

<=> b = C * √ ( 1 / 2 )

Wegen a ² = C ² - b ² ergibt sich für a:

a ² = C ² - C ² / 2 = ( 1 / 2 ) C ²

<=> a = C * √ ( 1 / 2 )

Das Dreieck mit einer Hypotenuse der Länge C hat also dann den maximalen Flächeninhalt, wenn für seine Katheten a bzw. b gilt:

a = b = C * √ ( 1 / 2 ) = C / √ 2

Comments

JotEs, also wolframalpha behauptet b=C*√(1/2)

Wer hat von euch Recht?

https://www.wolframalpha.com/input/?i=maximize+a*b%2F2+on+a%5E2%2Bb%5E2%3Dc%5E2

---

Rein intuitiv hätte ich gesagt, dass beide Katheten gleich lang sein müssen.

Bei dir ist ein Fehler in der Ableitung A'(b) im zweiten Summanden. Richtig wäre \(-\frac{b^2}{2\sqrt{C^2-b^2}}.\) Die 2 muss also in den Nenner.

---

Wer hat von euch Recht?

Zum Glück WolframAlpha, sonst könnte man sich darauf in Zukunft ja nicht mehr verlassen ...

Ich habe meinen Fehler korrigiert (rot markiert) und von dort aus neu zu Ende gerechnet. Nun stimmt mein Ergebnis mit Wolfram Alpha überein.

Rein intuitiv hätte ich gesagt, dass beide Katheten gleich lang sein müssen.

Ja, natürlich, das hätte mir auch auffallen müssen ... allerdings stimmt deine Korrektur auch nicht ganz.

Richtig ist \(-\frac{b^2}{\sqrt{C^2-b^2}}\)

Dennoch: Vielen Dank für deine Aufmerksamkeit und den Hinweis auf meinen Fehler. So konnte ich ihn korrigieren und muss nun nicht mit einer falschen "Besten Antwort" weiterleben ... :-)

---

A ' ( b ) = ( 1 / 2 ) * ( √ ( C ² - b ² ) + b * ( - 2 b  /  2 √ ( C ² - b ² ) )

In dieser Zeile stimmt die Klammersetzung nicht. Da werden 5 Klammern geöffnet, aber nur 4 geschlossen. Könntest du das noch korrigieren? Wenn du ganz am Ende die Klammer zu machst, müsste es dann stimmen.

 

Meine Korrektur war auch nicht ganz falsch, ich hatte aber \(\frac{1}{2}\) noch nicht ausgeklammert, deswegen steht da noch eine 2 im Nenner.

---

Wenn du ganz am Ende die Klammer zu machst, müsste es dann stimmen.

Das hat noch nicht ganz genügt, auch der Nenner muss nun, wo darin noch der Faktor 2 steht, eingeklammert werden. Ich habe die entsprechenden Ergänzungen in meiner Antwort in Farbe vorgenommen, es müsste nun passen.

---

Ist mir gar nicht aufgefallen, dass um den Nenner die klammern fehlten.

Naja, jetzt stimmt es jedenfalls.

Answer 2

Nein, du musst das allgemein machen für einen beliebigen Wert von c.

Der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks ist ja \(A(a, b)=\frac{1}{2}ab\) (Hauptbedingung). Die Nebenbedingung ist \(a^2+b^2=c^2.\)

Du stellst also die Nebenbedingung nach a oder b um, setzt das dann in die Hauptbedingung ein, und bestimmst dann das Maximum.