Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems (dy/dx)=−3⋅x^2⋅y^2, y(1)=8

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems (dy/dx)=−3⋅x^2⋅y^2,      y(1)=8

Problem/Ansatz:

Wie gehe ich hier vor? Weißt nicht was ich machen soll…

Answer 1

Aloha ;)

Willkommen in der Mathelounge...

$$\left.\frac{dy}{dx}=-3x^2y^2\quad\right|:\,y^2$$$$\left.\frac{1}{y^2}\frac{dy}{dx}=-3x^2\quad\right|\cdot dx$$$$\left.\frac{1}{y^2}\,dy=-3x^2\,dx\quad\right|\text{jede Seite für sich integrieren}$$$$\left.-\frac{1}{y}+c_1=-x^3+c_2\quad\right|-c_1$$$$\left.-\frac{1}{y}=-x^3+c_2-c_1\quad\right|c\coloneqq -(c_2-c_1)$$$$\left.-\frac{1}{y}=-x^3-c\quad\right|\cdot(-1)$$$$\left.\frac{1}{y}=x^3+c\quad\right|\text{Kehrwerte}$$$$\left.y=\frac{1}{x^3+c}\quad\right.$$Die Integrationskonstante \(c\) gewinnen wir aus der Anfangsbedingung:$$8=y(1)=\frac{1}{1+c}\implies1+c=\frac{1}{8}\implies c=-\frac{7}{8}$$Damit haben wir die Gleichung gelöst:$$y(x)=\frac{1}{x^3-\frac{7}{8}}=\frac{8}{8x^3-7}$$

Answer 2

Hallo,

(dy/dx)=−3⋅x^y^2, y(1)=8 -->Lösung durch Trennung der Variablen

dy/y^2= -3x^2 dx

-1/y= -x^3+C

y=1/(x^3-C)

AWB eingesetzt:

y(1)=8

8=1/(1-C)

8(1-C)=1

C=7/8

------>

y=1/(x^3-C)

y= 1/(x^3-(7/8))

y=8/(8x^3-7)