Woran erkennt man eine lineare Abbildung?

Question

Aufgabe:

Ist die folgende Abbildung linear?

\(F: \ \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2, \ \begin{pmatrix} x_1\\x_2\end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} x_1+5\\x_1+x_2\end{pmatrix} \)

Problem:

Woran sieht man ob es lineare Abbildung ist oder nicht? Könnt ihr mir bitte den Rechnungsweg zeigen, also wie man drauf kommt.. (Ich lerne gerade für einen Mathe-test)

Answer 1

Hallo

linear wenn f(a*x)=a*f(x) und f(x+y)=f(x)+f(y). am einfachsten f(0)=0 da das hier schon nicht stimmt, brauchst du den Rest nicht.  das einfach nachrechnen. (Ergebnis , nein nicht  linear)

Gruß lul

Comments

Daraus habe ich aber irgendwie nicht gelernt woran man es sieht..

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Hallo

 "sehen" ist dabei nachrechnen, allerdings "sieht" man es, wenn die einzelnen Komponenten auf Linarkombinationen der Komponenten abgebildet werden ist es linear und x1 nach x1+5 ist nicht linear.

(leider werden auf der Schule auch Funktionen wie f(x)=ax+b mit b≠0 "linear" genannt, das ist mathematisch falsch, auf der Schule so verwendet weil der Graph von f(x) eine gerade Linie ist )

für einen Beweis dass eine Abb. linear ist muss man immer die Kriterien, die ich schrieb, nachweisen, für nicht linear reicht immer, dass eines nicht stimmt.

Sonst musst du sagen was du unter "sehen" verstehst.

lul

Answer 2

Zuerst einmal sollte man nicht sehen, sondern rechnen und beweisen.

Wenn Du primitive Abbildungen wie Deine hast, "siehst" Du Linearität daran, dass die Terme linear sein müssen, d.h. Du hast eine Summe aus Vielfachen Deiner x_i.

\( x_1+x_2 \) ist linear, weil Du alle x_i linear (nur in 1. Potenz) hast, die Koeffizienten sind jeweils 1.

\( x_1+5 \) ist nicht linear, weil 5 alleine steht, ohne ein x_i (formal steht x_i^0).

Du solltest allerdings bedenken, dass linear auch ganz andere Funktionen oder Operationen sein können, z.B. ist das Integral ebenfalls linear.