Für welche Werte A und B ist die Funktion stetig und differenzierbar?

Question

Aufgabe:

Funktion f(x) =

X²− 2x + 2 für x<= 1
Ax − B für x > 1

a) Welchen Wert muss A annehmen, damit die Funktion für B = 1 für alle x Gehört R stetig ist?
b) Welchen Werte müssen A und B annehmen, damit die Funktion für alle x Gehört R differenzierbar ist?

Answer 1

f = x^2− 2x + 2 für x<= 1
g = ax − b für x > 1
1.Ableitung
f ´= 2x - 2
g ´ = a

f = g für x = 1 und b = 1
f ( 1 ) = 1
1 =  ax − b
1 = a - 1
a = 2
g = 2 * x - 1

b.)
f ´= g ´ für x = 1
f ´ = 2x - 2
f ´( 1 ) = 0
differenzierbar wenn stetig
f ´( 1 ) g ´ ( 1 ) = 0
g ´ = a
a = 0
f ( 1 ) = 1 = g ( 1 )

g = 0 * x + b = 1
g = 0 * x + 1

g = 0 * x + 1

Answer 2

Damit es bei x=1 stetig ist, müssen beide Funktionsterme bei x=1

übereinstimmen, also X^2− 2x + 2  für x=1 gibt 1

und Ax-B mit B=1 gibt für  A-1 , also muss A=2 sein.

Differenzierbar:  X^2− 2x + 2 hat Ableitung 2x - 2 , das ist bei x=1

dann der 0

Und Ax-B hat Steigung A, das muss also dann 0 sein.