Summe der Quadrate der ersten n Fibonacci-Zahlen.

Question

Sei f(n) das n-te Glied der Fibonacci-Folge. Zeigen Sie \( \sum\limits_{k=1}^{n}{[f(k)]^2} \)  =f(n)∙f(n+1).

Answer 1

\( \sum\limits_{k=1}^{n}{[f(k)]^2}  =f(n)  \cdot f(n+1) \)

mit vollst. Induktion. Für n=1 ist es wohl klar.

Wenn es für n gilt dann hat man

\( \sum\limits_{k=1}^{n+1}{[f(k)]^2} = \sum\limits_{k=1}^{n}{[f(k)]^2}  + f(n+1)^2 \)

Induktionsannahme einsetzen gibt

= f(n) · f(n+1) +  ( f(n+1)) ^2        Dann f(n+1) ausklammern

=f(n+1) · ( f (n) + f(n+1) )        Rekursion einsetzen

=f(n+1) · f (n+2)     q.e.d.