Determinante einer Matrix lösen

Question

ich muss die Determinante dieser Matrix lösen. Ich weiß wie man generell eine Matrix löst, aber irgendwie verwirrt mich diese Matrix.

Hat jemand einen Ansatz für mich?

(Quelle: Probeklausur)

Comments

Du kannst hier vollständige Induktion benutzen. Wenn du mithilfe des Laplace'schen Entwicklungssatz entwickelst hast du jeweils eine Matrix, die die gleiche Form hat nur eine Dimension kleiner ist.

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Okay,

Wie bekommt man die Determinante mit einer vollständigen Induktion raus? :)

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@gaubes:

Ganz so primitiv ist es hier nicht.

Answer 1

Entwickle nach der 1. Zeile oder 1. Spalte (ist egal). Du kommst recht schnell auf Unterdeterminanten, die die gleiche Struktur haben. Dies ergibt Dir eine primitive Rekursionsformel.

Deutlich aufwändiger ist nun, diese in eine explizite Formel umzurechnen.

Comments

Was ist die primitive Rekursionsformel?

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In der ersten Zeile stehen 2 Elemente; es ist wirklich nicht schwer, nach dieser Zeile zu entwickeln. Mache es, gibt Dein Ergebnis hier an, dann geht es weiter.

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Achso, ja tut mir leid, bei uns hat die Dozentin das nur "Entwickeln nach..." genannt und nicht Rekursion..aber ja okay ich weiß dann Bescheid.

Wenn ich nach der ersten Zeile entwickle fällt die komplette erste Zeile und zweite Spalte ja weg.

Übrig bleibt:

1 a             .

a ...   ....   0

          1      a

... 0    a      1

Die Pünktchen in der zweiten Zeilen sollen eine Diagonale bilden und der Punkt in der erstem Zeile soll eigentlich 3 untereinander bilden. Kenne mich mit Latex nicht gut aus :/

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Wenn Du nach der 1. Zeile entwickelst, bekommst Du zwei Unterdeterminanten; die eine davon kannst Du nochmals vereinfachen, dann siehst Du ein Schema.

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Tut mir leid, aber das verstehe ich nicht so ganz was mit Unterdeterminanten gemeint ist :/ und wenn ich nach erster Zeile entwickle muss ja die erste spalte auch weg oder?

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Entwickle einfach nach der ersten Zeile und schreibe Dein Ergebnis hier hin. (Das, was Du oben angegeben hast, ist falsch.)

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Okay...ich wüsste nicht wie das Ergebnis sonst aussieht. Muss dafür a und 1 jeweils rausgeschrieben werden multipliziert mit der Matrix die übrig bleibt oder wie?

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... Muss dafür 1 und a, und dann 0, und 0, und 0, und 0, .... jeweils rausgeschrieben werden, multipliziert mit der (Unter)Determinante die übrig bleibt, wenn man die Zeile und Spalte von 1 bzw. a bzw. 0 bzw. 0 bzw. 0 .... löscht. (Du sollst nach der ganzen Zeile entwickeln, Du kannst nicht nur einige Elemente nehmen.)

Die Summanden aus Element mal Unterdeterminate bekommen ein Vorzeichen (Rechenzeichen), welches sich ergibt, wenn Du die Matrix im Schachbrettmuster mit + und - belegst, wobei oben links ein + steht.

Anstatt allgemein eine nxn-Matrix zu nehmen, nimm erst einmal eine 7x7-Matrix, und schreibt dann (endlich) Dein Ergebnis hier her.

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Hast Du inzwischen aufgegeben?

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Jap :) das habe ich

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Und was hast Du?