I = {f∈R : f(0)=0 mod 5}

Question

Aufgabe:

Vor.: R ist der Polynomring ℤ[t] und I := { f∈R : f(0) ≡ 0 mod 5

Beh.: I ist ein Ideal von R

Problem/Ansatz:

Ich weiß die Definition eines Ideals und weiß auch was ich zeigen muss. Was mich irritiert ist die Definition von I selbst.

Ich weiß nicht wie die Elemente in I genau aussehen.

An sich würde ich wie folgt vorgehen:

1. Das 0 in I ist, ist klar, da ja alle Elemente die 0 auf 0 mod 5 abbilden.

Beim Zweiten bin ich nun unsicher, wie die Elemente aussehen.

2. Seien f,g in I beliebig.

 f(0)+g(0)= 0 mod 5 + 0 mod 5 = 0 mod 5 also liegt f+g in I

 Oder

 Seien x,y in ?

 f(x)+f(y)= f(x+y)= ?

Also was ich unter anderem hierbei nicht verstehe, ist wie genau mein f definiert ist. Ich weiß zwar, dass f(0) = 0 mod 5 ist aber, was ist z.B. mit f(1). Und welche Elemente kann ich überhaupt in f einsetzen?

Answer 1

Du betrachtest ja Polynom über den ganzen Zahlen. Wenn du da eine ganze Zahl einsetzt kommt eine ganze Zahl raus. Also \( f(0) \in \mathbb Z \).

Die Menge \( I \) ist jetzt die Menge der Polynom für die \( f(0) \) durch 5 teilbar ist (oder halt \( f(0)  \equiv 0 \mod (5) \))

In \( I \) liegen also z.B. die Polynome \( t^2 -3t + 10 \) und \( t^{42} - 27t^{15} + 36t^7 - 100 \). Das Polynom \( t + 1 \) liegt aber bspw. nicht in \( I \).

1. Das 0 in I ist, ist klar, da ja alle Elemente die 0 auf 0 mod 5 abbilden.

Genau. Wegen \( 0_{\text{Polynom}} ( 0) = 0 \equiv 0 \mod (5) \) ist \( 0_{\text{Polynom}} \in I \).

Beim Zweiten bin ich nun unsicher, wie die Elemente aussehen.

2. Seien f,g in I beliebig.

f(0)+g(0)= 0 mod 5 + 0 mod 5 = 0 mod 5 also liegt f+g in I

Auch das ist ok. Sind \( f, g \in I \), dann möchte man zeigen dass \( f + g \in I \), also muss man nachrechnen, dass \( (f+g)(0) \equiv 0 \mod (5) \). Das hast du ja aber schon gemacht:

$$ (f+g)(0) = f(0)+g(0) \equiv 0 + 0 \equiv 0 \mod (5) $$

d.h. \( f + g \in I \)

Seien x,y in ?

f(x)+f(y)= f(x+y)= ?

Also was ich unter anderem hierbei nicht verstehe, ist wie genau mein f definiert ist. Ich weiß zwar, dass f(0) = 0 mod 5 ist aber, was ist z.B. mit f(1). Und welche Elemente kann ich überhaupt in f einsetzen?

f ist einfach ein Polynom mit Koeffizienten in \( \mathbb Z \), somit kannst du auch alle ganzen Zahlen einsetzen. Welche Werte das Polynom ausgewertet an den Stellen -5, 1 oder 42 etc. hat ist für die Menge \( I \) vollkommen irrelevant! Wichtig ist nur für \( f \in \mathbb Z[t] \): $$ f \in I \iff f(0) \equiv 0 \mod (5) $$

Jetzt musst du nur noch zeigen, dass für \( r \in R \) und \( f \in I \) schon \( r \cdot f \in I \) gilt.

Comments

Vielen Dank für die ausführliche Erklärung :)