Verständnisprobleme Austauschlemma

Question

Aufgabe:

Sei B = {(3,5,2)^T,(1,1,–1)^T,(2,4,1)^T} ⊂ ℝ³ und a = (1,3,2)^T, b = (1,–1,4)^T

Ich habe bereits gezeigt, dass B eine Basis des ℝ³ ist.

Nun muss ich noch zwei Vektoren aus B durch a und b ersetzen, so dass sie so entstandene Menge wieder eine Basis ist

Ansatz

Zunächst habe ich gezeigt, dass a zu b1 und b3 linear unabhängig ist. Dann fiel mir auf, dass a zu allen Vektoren linear unabhängig ist.

In der Musterlösung zeigt man, dass a kein Element der linearen Hülle (b1,b3) ist.

Meine Frage ist, warum es reicht, zu zeigen, dass a nicht in der Linearen Hülle ist.

Also ich wollte ein LGS lösen der Form

3	1	2	0
5	3	4	0
2	2	1	0

lösen.

In der Musterlösung wird folgendes gerechnet

3x+2y = 1     I

5x+4y = 3     II

2x+1y = 2     III

Wobei man I nach x umformt und dies dann in II einsetzt. Dadurch erhält man y=2 und x=-1. Durch Einsetzen in III erhält man dann -2+2≠2 woraus gefolgert wird, dass a kein Element aus der Linearen Hülle von (b1,b3)ist. Daraus folgt dann, dass B1={b1,b3,a} eine Basis ist.

Auch wenn ich die Definitionen sowie das Austauschlemma formal kenne, habe ich noch kein richtiges Verständnis dafür entwickelt, weswegen ich noch nicht ganz verstehe, weshalb man so rechnen muss, wie in der Musterlösung.

Nachdem ich mir auch andere Beispiele angesehen habe, scheint die Musterlösung das allgemeine Vorgehen zu sein, jedoch verstehe ich noch nicht so ganz, weshalb so vorgegangen wird.

Bei einem anderen Beispiel, wurde a als Linearkombination von bi dargestellt und wenn man a so darstellen kann, wird a dann scheinbar willkürlich durch eines der bi ersetzt.

Es sei denn ein Summand hat als Faktor 0 vor dem bi stehen, dann kann es sein, dass sie lin. Abh. wären, weswegen man a dann durch einen der beiden anderen Vektoren ersetzen muss.

Danke schon mal im Voraus :)

Answer 1

Hallo,

es gibt nicht "die" Musterlösung für dies Aufgabe, weil ja auch i. allg. verschieden Elemente aus der Basis geworfen werden können. Ich würde zunächst das Gleichungssystem

$$s_1b_1+s_2b_2+s_3b_3=a$$

lösen. Das ergibt: \(s_1=0,s_2=-1,s_3=1\) (bitte überprüfen)

Also gilt:

$$b_2=b_3-a$$

Das bedeutet: Ich kann \(b_2\) gegen \(a\) austauschen; denn wann immer ich \(b_2\) brauche kann ich es durch \(b_3-1\) ersetzen. Genauso kann ich aus

$$b_3=a+b_2$$

schließen, dass ich \(b_3\) durch \(a\) ersetzen kann.

Die Tatsache, dass \(s_1=0\) ist, zeigt, dass ich nicht \(b_1\) durch a ersetzen kann.

Gruß

Comments

Vielen Dank, die Erklärung hat wirklich gut geholfen.

Jetzt hab ich das auch für den Vektor b hinbekommen :)