Aloha :)
Wir haben es hier mit einer oberen Dreiekmatrix zu tun:
$$\mathbf A=\left(\begin{array}{c}0 & 1 & 1 & 1 & \cdots & 1\\0 & 0 & 1 & 1 & \cdots & 1\\0 & 0 & 0 & 1 & \cdots & 1\\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$$Um den Kern zu bestimmen müssen wir das folgende Gleichungssystem lösen:
$$\begin{array}{cccccc|c}x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & \cdots & x_n & =\\\hline0 & 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 & 0\\0 & 0 & 1 & 1 & \cdots & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & \cdots & 1 & 0\\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}$$
Aus der vorletzten Zeile entnehmen wir \(x_n=0\). Aus der Zeile darüber entnehmen wir dann \(x_{n-1}=0\). Aus der darüber \(x_{n-2}=0\). Und so weiter, bis wir aus der obersten Zeile \(x_2=0\) folgern. Die Variable \(x_1\) hingegen ist völlig frei wählbar, da sie in allen Gleichungen mit \(0\) multipliziert wird. Eine Basis des Kerns ist daher:$$\text{Kern}(\mathbf A)=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix}\in\mathbb R^n$$
