Wie finde ich die richtige Funktionsgleichung heraus?

Question

Aufgabe: der graph einer polynomfunktion f vierten grades ist symmetrisch der y-Achse. er besitzt an der stelle 1 eine wendestelle mit der wendetangente t: -4x+y=2,5. Bestimmte die Funktionsgleichung von f

Problem/Ansatz: Wie Löse ich diese Aufgabe?

Answer 1

Also, du kannst herauslesen, dass die Funktion den vierten Grad besitzt; das bedeutet die Grundform sieht so aus:

ax⁴+bx³+cx²+dx+e

Du weißt auch, dass besagte Funktion symmetrisch zur Ordinate ist, also darf der Term nur gerade Exponenten enthalten:

f(x)= ax⁴+cx²+e  (denn ex⁰ ist gleich e)

Du weißt auch, dass der Graph den Wendepunkt bei f(1) hat, also muss gelten f´´(1)=o (f´´´(1) ungleich null).

Und außerdem, dass die Steigung für diese Tangente -4 ist, was bedeutet, dass f´(x)= -4 ist.

Ich würde erstmal die Ableitungen bilden und dann beschriebene Infos also einsetzen (:

Comments

Das war schon hilfreich, doch fehlt da nicht noch eine Gleichung?

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Wenn du für x die 1 in die Tangentengleichung einsetzt, erhältst du die y-Koordinate des Wendepunktes.

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Aufgabe: der Graph einer Polynomfunktion f vierten Grades ist symmetrisch der y-Achse. er besitzt an der Stelle 1 eine Wendestelle mit der Wendetangente t: -4x+y=2,5. Bestimmte die Funktionsgleichung von f

f(x)=a*x⁴+c*x²+e

an der Stelle x=1:

f(1)=a*1⁴+c*1²+e

Da nun an dieser Stelle auch die Wendetangente y=4x+2,5 läuft, gilt

y(1)=4*1+2,5=6,5

1.) a*1⁴+c*1²+e=6,5

Wendepunkt bei x=1

f´(x)=4ax³+2cx

f´´(x)=12ax²+2c

f´´(1)=12a*1²+2c

2.) 12a*1²+2c=0

Die Steigung der Wendetangente bei x=1  beträgt   4

f´(1)=4a*1³+2c*1

3.) 4a*1³+2c*1=4

Nun kannst du die Werte für a, c und e berechnen.

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Ich habe die Tangentengleichung jetzt berechnet und da kam mir 13/2 heraus.
Was wäre der nächste schritt?

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Stelle jetzt die drei Gleichungen auf, die sich aus den Informationen ergeben.

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Das habe ich schon gemacht, doch mir fehlt nur noch die Gleichung im Zusammenhang mit 13/2.

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f(1) = 6,5 ⇒ a + c + e = 6,5

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Wie wäre das im Zusammenhang mit der Ableitung?

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Wie meinst du das?

Aus den Informationen f'(1) = 4 und f''(1) = 0 hast du doch die anderen beiden Gleichungen gebildet.

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Ich benötige halt nur noch eine bestimmte Ableitungsgleichung. Weil man ja insgesamt drei finden muss.

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$f(x)=ax^4+cx^2+e\\f'(x)=4ax^3+2cx\\ f''(x)=12ax^2+2c$

1 in die 1. Ableitung einsetzen und diese = 4

1 in die 2. Ableitung einsetzen und diese = 0