Differentialgleichung lösen unter Bedingung

Question

liebe Mathefreunde..

eine Differenzialaufgabe macht mir kurzzeitig das Leben schwer, weshalb ich mich zu euch wende..

y'−e^x+2y=0

unter der Bedingung y(x=-2)=1

als Tipps steht hierbei: x^a+b = x^a ×x^b

Ich soll als Ergebnis die spezielle Lösung angeben..

Ich hoffe jemand kann und möchte mir weiterhelfen.

Comments

stimmt: y=-1/2 ln(-2e^x + 3e^-2 )   ?

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Ja , Weg siehe unten

Answer 1

Hallo,

y' -e^(x+2y)=0

dy/dx =e^(x+2y) =e^x *e^(2y)

dy/e^(2y)= e^x dx

( -e^(-2y)/2 = e^x +C |*(-2)

e^(-2y)= -2(e^x+C) |ln(..)

-2y= ln(-2(e^x+C)) |:(-2)

y= -(ln(-2(e^x+C))) /2

AWB: y(-2)=1 :

1= -(ln(-2(e^x+C))) /2 |(-2)

-2=  ln(-2 e^(-2) -2c)

e^(-2)= -2 e^(-2) -2c

3/e^2= -2c

c= (-3)/( 2 e^2)

---->

y= -(ln(-2e^x+3/e^2)) /2

Answer 2

stimmt: y=-1/2 ln(-2ex + 3e-2 )  ?

Setze es doch mal in deine DGL ein und prüfe, ob die Anfangswertbedingung stimmt.

Ansonsten kannst du Trennung der Variablen machen:$$ \frac{dy}{dx}=y'=e^{x+2y}=e^x\cdot e^{2y} , \quad \int e^{2y} dy= \int e^x dx $$

und lösen...