Wie muss das Gehege gebaut werden, damit das Kaninchen möglichst viel Platz hat?

Question

Aufgabe:

Für den Bau eines Kaninchengeheges stehen 25 m Maschendrahtzaun zur Verfügung. Das Gehege darf an zwei Seiten an das Gebäude anschließen.
Wie muss das Gehege gebaut werden, damit das Kaninchen möglichst viel Platz hat?

Comments

a : 1 Seite
b : 2.Seite

Umfang = Zaunlänge ohne Mauer : 2 * a + 2 * b

Dank der Mauer

U = 2 * a + b
F = a * b

Ziel : max von F

aus 1.
14 = 2 * a + b
b = 14 - 2 * a

in 2.
F ( a ) = a * ( 14 - 2 * a )
F ( a = 14 * a - 2 * a2

F ´ ( a ) = 14 - 4 * a
Extremwert
F ´ ( a ) = 14 - 4 * a = 0
a = 14 / 4 = 3.5 m

b = 14 - 2 * a = 14 - 3.5 * 2 = 7 m

a = 3.5 m
b = 7 m
Allgemeine Lösung

U als Variable beibehalten

U = 2 * a + b
F = a * b

Ziel : max von F

aus 1.
U = 2 * a + b
b = U - 2 * a

in 2.
F ( a ) = a * ( U - 2 * a )
F ( a = U * a - 2 * a2

F ´ ( a ) = U - 4 * a
Extremwert
F ´ ( a ) = U - 4 * a = 0
a = U / 4

b = U - 2 * a = U - U / 4  * 2
b = U - U /2 = U / 2
a = U / 4
b = U / 2

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Meinte 25m bei der Rechnung

Answer 1

a + b = 25
F = a * b
a = 25 -b
F = ( 25 - b ) * b = 25 b - b^2
F ´(b ) = 25 - 2b
25 - 2b = 0
b = 12.5

Merke : das Quadrat hat bei gegebenen Umfang
immer die größte Fläche.

Comments

Ich korrigiere mal

Das Quadrat hat von allen Rechtecken bei gegebenen Umfang immer die größte Fläche.

Der Kreis hat bei gegebenem Umfang immer die größte Fläche

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Die Frage bezog sich aber auf ein
Rechteck.
Meine Antwort auch.
Das mit dem Kreis ist also ein bißerl
weit hergeholt.
mfg Georg

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Das hatte ich zwar auch angenommen, steht aber nicht im Text. Unten steht zwar etwas von quadratischer Funktion, doch wenn es um die größtmögliche Fläche geht dann ist

$$A=0,5 π r^2 $$

auch eine quadratische Funktion.

Wenn wir jetzt die Nebenbedingung

$$u=πr =25$$

nehmen, bekommen wir

$$A=0,5*25^2/π≈99,47\space m^2$$

Das bedeutet aber, dass das Gebäude mindestens etwa \(16\)  \(m\) lang sein müsste.

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"Das Quadrat hat von allen Rechtecken bei gegebenen Umfang immer die größte Fläche.

Der Kreis hat bei gegebenem Umfang immer die größte Fläche"
Tut mir leid, ich sehe hier nur ein halbes Quadrat oder einen halben Kreis.

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2 Seiten des Geheges sollen die Seiten eines
Gebäudes sein.
Was erzählst du hier von halben Quadraten
oder Halbkreisen ?

Aus der Rubrik kurz und bündig
" Warum beantworten Sie eine Frage eigentlich
immer mit einer Gegenfrage ? "
" Warum nicht "

Im übrigen bin ich dafür das Karthago zerstört werden sollte

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"Das Gehege darf an zwei Seiten an das Gebäude anschließen."

Bedeutet etwas Anderes.

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" darf " " muß " aber nicht.
Es kann daher auch an keiner Seite
angeschlossen sein oder an 4 Seiten
an ein achteckiges Gebäude .
Mein letzter Beitrag hierzu.

Answer 2

Willkommen in der Mathelounge,

ich stelle mir den Sachverhalt so vor:

Damit ergibt sich für den zu optimierenden Flächeninhalt A = a · b

mit der Nebenbedingung 25 = 2b + a

Jetzt noch die 1. Ableitung bilden, = 0 setzen usw.

Gruß, Silvia

Answer 3

$$A(a)=a*(25-2a)$$$$A'(a)=25-4a=0$$$$a=6,25 \space m$$$$b=25-2a$$$$b=12,5\space m$$$$A''(a)=-4$$

Dazu muss das Gebäude aber mindestens \(12,5\)  \(m\) lang sein.

Comments

Und das Kaninchen hat 156 m^2 zur
Verfügung.

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Hallo georgborn,

6,25*12,5=78,125

Es tut mir leid , ich verstehe nicht, wie Du auf 156 kommst.

Gruß, Hogar

P.s. Vermutlich ist der Halbkreis aber die richtige Lösung der Aufgabe, ist nur praktisch schwieriger umzusetzen.

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Das Gehege darf an zwei Seiten an das Gebäude anschließen.

Wie ist das gemeint? An 2 Seiten???

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Da da darf steht, darfst Du es Dir aussuchen.

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Wahrscheinlich hat sich der Fragesteller
mit dem " darf " etwas unglücklich ausge-
drückt.

Hier meine Skizze

P.s. Vermutlich ist der Halbkreis aber die richtige Lösung der
Aufgabe, ist nur praktisch schwieriger umzusetzen.

Der Viertelkreis wäre vielleicht noch besser.

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Das mit dem Halbkreis sagte ich vor einer Stunde.

Ich kenne das Gebäude nicht, es könnte bei geeignetem Gebäude auch eine Gerade sein.

Es soll ja auch konkave Gebäude geben.

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Genau. Warum die wahrscheinlichste Deutung
annehmen, wenn es doch so viele
unwahrscheinllche gibt.

Zum Nachdenken
Praktischer Tip
Was kann man machen falls man vor einer Flugreise Angst hat im Flugzeug könnte eine Bombe versteckt sein?
Man nimmt auch eine Bombe mit.
Die Wahrscheinlichkeit das in einem
Flugzeug 2 Bomben sind ist nahezu
null.

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2  Möglichkeit: Ich verzichte auf den Flug und bleibe zuhause.