Aloha :)
Eine Funktion \(f(x;y)\) soll unter einer Nebenbedingung \(g(x;y)\) maximiert werden:$$f(x;y)=\sqrt x+\sqrt y\to\text{Max!}\quad;\quad g(x;y)=6x+13y\stackrel!=17$$
Nach Lagrange muss in einem Extremum von \(f\) der Gradient von \(f\) kollinear zum Gradienten von \(g\) sein, d.h. die beiden Gradienten sind parallel oder antiparallel zueinander:$$\operatorname{grad}f(x;y)=\lambda\cdot\operatorname{grad}g(x;y)\quad\implies\quad\binom{\frac{1}{2\sqrt x}}{\frac{1}{2\sqrt y}}=\lambda\binom{6}{13}$$
Wir dividieren beide Koordinaten-Gleichungen durcheinander:$$\frac{\frac{1}{2\sqrt x}}{\frac{1}{2\sqrt y}}=\frac{6\lambda}{13\lambda}\implies\frac{\sqrt y}{\sqrt x}=\frac{6}{13}\implies\frac{y}{x}=\frac{36}{169}\implies \underline{\underline{y=\frac{36}{169}x}}$$
Wir setzen den gefundenen Zusammenhang in die Nebenbedingung ein:$$17=6x+13y=6x+13\cdot\frac{36}{169}x=\frac{78}{13}x+\frac{36}{13}x=\frac{114}{13}x\implies x=\frac{221}{114}$$Damit haben wir auch einen konkreten Wert für \(y\):$$y=\frac{36}{169}x=\frac{36}{169}\cdot\frac{221}{114}=\frac{6}{13}\cdot\frac{17}{19}=\frac{102}{247}$$
Das gesuchte Extremum der Funktion liegt daher bei:$$f\left(\frac{221}{114}\,;\,\frac{102}{247}\right)=\sqrt{\frac{323}{78}}\approx2,034951$$
