Betrag und Skalarprodukt

Question

Aufgabe:

Es seien \( \vec{x}, \vec{y} \in \mathbb{R}^{n} \) zwei Vektoren mit \( \langle\vec{x}, \vec{y}>=0 . \) Zeigen Sie, dass gilt:
\( |\vec{x}|^{2}+|\vec{y}|^{2}=|\vec{x}-\vec{y}|^{2} \)

Problem/Ansatz

Wäre jemand so freundlich mich zu erklären warum das so ist verstehe es selbst nicht würde es aber gerne.

Comments

Hallo,

Du brauchst:

- die Charakterisierung / Definition des Betragsquadrats eines Vektors, also \(|x|^2\), durch das Skalarprodukt.

- die Rechenregeln für das Skalarprodukt, insbesondere \(\langle x_1+x_2,y\rangle=?\)

Gruß

Answer 1

Mit den bekannten Regeln für das Skalarprodukt gilt$$\lvert\vec x-\vec y\rvert^2=\langle\vec x-\vec y,\vec x-\vec y\rangle=\langle\vec x,\vec x\rangle-2\underbrace{\langle\vec x,\vec y\rangle}_{=0}+\langle\vec y,\vec y\rangle=\lvert\vec x\rvert^2+\lvert\vec y\rvert^2.$$

Comments

Ah ok denke jetzt habe ich es Verstanden deswegen ist es auch wichtig dass das Skalarprodukt 0 ist danke für die Hilfe das heißt wäre es nicht = 0 würde es nicht aufgehen richtig ?

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Das ist richtig und funktioniert nur, wenn \(\langle\vec x,\vec y\rangle=0\) ist.

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Vielen lieben Dank hat mir sehr weitergeholfen.

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Gerne\({}\).

Answer 2

Hilft dir diese Skizze weiter?

Comments

Hat mir etwas weitergeholfen Danke ^^