Extremwertaufgaben zylindrische Dose

Question

ich verstehe diese Aufgabe leider nicht, kann sie mir eventuell jemand Schritt für Schritt vorrechnen?

VG

Extremwertaufgaben
Ermitteln Sie die Maße einer zylindrischen Dose zur Optimierung der Verpackung von 0,75 Liter Farbe
(d.h. Minimierung des Verpackungsoberfläche).

Answer 1

Zielfunktion O(r)=2·π·r·h+2·π·r²

Nebenbedingung: 0,75=π·r²·h oder h=\( \frac{0,75}{π·r^2} \).

Nebenbedingung in Zielfunktion für h einsetzen. Nullstellen der Ableitung nach r auf Mini-Max Prüfen.(Längenmaße in dm).

Answer 2

Extremwertaufgaben
Ermitteln Sie die Maße einer zylindrischen Dose zur Optimierung der Verpackung von 0,75 Liter Farbe
(d.h. Minimierung des Verpackungsoberfläche).

O(r,h )=2*r^2*π+2*r*π*h soll minimal werden.

V(r,h)=r^2*π*h

r^2*π*h=0,75  →  h=\( \frac{0,75}{r^2*π} \)

O(r )=2*r^2*π+2*r*π*\( \frac{0,75}{r^2*π} \)=2*r^2*π+\( \frac{1,5}{r} \)

O´(r)=4*r*π-\( \frac{1,5}{r^2} \)

4*r*π-\( \frac{1,5}{r^2} \)=0|*r^2

4*r^3*π-1,5=0

r≈0,5    h=\( \frac{0,75}{0,25*π} \)= \( \frac{3}{π} \)

O(0,5;\( \frac{3}{π} \)  )=...

Comments

O(0,5;\( \frac{3}{π} \)  )=...

Der Geck bei dieser Aufgabe ist, dass im Optimum \(h=2r\) ist.