Bestimmung zweier Einheitsvektoren durch Vektor v und Winkel

Question

Ich hab eine Aufgabe, die ich nicht ganz verstehe:

Bestimmen Sie zwei Einheitsvektoren, die den Winkel von 60° mit dem Vektor
v = <3, 4> aufspannen.

WIe genau kann ich mir das im Bild vorstellen?

Ich zeichne den Vektro V = 3,4 Wie erkenne ich dann, welche Einheitsvektoren ich brauche?

Zuvor musste ich einen Einheitsvektor bestimmten, der senkrecht auf 2 Vektoren steht. Ich hab mal probiert ob es da einen Zusammenhang gibt, doch diesen erkenne ich nicht.

Könnt ihr mir helfen?

Answer 1

Die blauen Vektoren sind Einheitsvektoren (Länge 1) und schliessen mit dem schwarzen Vektor einen Winkel von 60° ein.

Bestimmen Sie zwei Einheitsvektoren, die den Winkel von 60° mit dem Vektor
v = <3, 4> aufspannen.

Als Erstes soll der Winkel zwischen v und u 60° messen:

Das kannst du mit dem Skalarprodukt berechnen: 

u*v = |u|*|v| cos PHI

Lies " Das Skalarprodukt zweier Vektoren ergibt Produkt der Beträge der beiden Vektoren multipliziert mit dem Cosinus des Zwischenwinkels. vgl: https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodukt

Hier

(x,y)*(3,4) = √(x² + y²)*√(3² + 4²) cos(60°)

3x + 4y = √(x² + y²) * 5 * 0.5 

Nun kannst du benutzen, dass u ein Einheitsvektor sein soll (Länge ist 1)
Daher √(x² + y²) = 1
x² + y² = 1
y² = 1-x²
y = ±√(1-x²)

Beide blauen Gleichungen vereinfachen die Gleichung

3x + 4y = √(x² + y²) * 5 * 0.5 

zu
3x + 4√(1-x²) = 2.5        |nun noch nach x auflösen

4√(1-x²) = 2.5 - 3x         |:4

√(1-x²) = 5/8 - 3/4 x        |²

1-x² = (5/8 - 3/4 x)²         

Diese quadratische Gleichung kannst du bestimmt selbst fertig auflösen:

Mein Resultat 

-----> x1= 1/10 (3-4 √(3)) und y1 = 1/10(4+3√3)

x2= 1/10 (3+4 √(3)) und y2 = 1/10(4-3√3)

Das sollte jetzt stimmen. Falls ich mich verrechnet habe, bitte noch sagen. Der beschriebene Rechenweg sollte stimmen.