Integralgrenzen/Funktionsvariable bei zwei gegebenen Graphen bestimmen

Question

Aufgabe:

es geht um folgende Aufgabe:

Welchen Wert muss der Parameter b besitzen, damit die von den Kurven der
Funktionen f(x) = x² + 3x + 1 und g(x) = x + b eingeschlossene Fläche genau
10 Flächeneinheiten beträgt?

Problem/Ansatz:

Mein Vorgehen war es jetzt die den Schnittpunkt der Funktionen zu berechnen, dieser liegt bei -1.

Nun habe ich den unteren Grenzwert des Integrales, als nächstes Bilde ich das Integral in dem ich f(x)-g(x) berechne.

Daher folgt dieses Integral: ∫_-1^b x² + 2x + 1 - b = [ \( \frac{x^3}{3} \) + \( \frac{2x^2}{2} \) + x]

Ausmultipliziert erhalte ich nun folgendes:

\( \frac{b^3}{3} \) + b² + b + \( \frac{1}{3} \) = 10

Nun habe ich aber absolut keinen Ansatz mehr um b zu lösen.

Klar ich kann noch mit 3 Multiplizieren um den Bruch loszuwerden, allerdings hänge ich dann an den verschiedenen Potenzen.

Da ich noch nicht so viel mit Integralen zu tun hatte, stellen sich mir folgende Fragen:

- Habe ich die Funktion für das Integral aus den beiden Funktionen richtig bestimmt?

- Ist meine Endgleichung korrekt?

- Wie löse ich nun b bei den verschiedenen Potenzen? Bzw. generell was für Möglichkeiten habe ich hier?

Vielen Dank schonmal.

Answer 1

Schnittpunkt der Funktionen zu berechnen

Richtig.

dieser liegt bei -1.

Falsch. Lösungen der Gleichung

        \(x^2 + 3x + 1 = x + b\)

sind \(-1-\sqrt{b}\) und \(-1+\sqrt{b}\).

Löse also die Gleichung

        \(\int\limits_{-1-\sqrt{b}}^{-1+\sqrt{b}}\left(g(x) - f(x)\right)\mathrm{d}x = 10\).

Comments

Vielen dank euch, die Grenzen sind schlüssig, jedoch wie weiß ich sicher ob die Gerade in diesem Abschnitt überhalb der Funktion liegt?

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Es handelt sich um eine nach oben geöffnete Parabel!

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ob die Gerade in diesem Abschnitt überhalb der Funktion liegt

Wenn du keinen Bock hast, dir darüber Gedanken zu machen, kannst du Betragsstriche um das Integral packen:

\(\left|\int\limits_{-1-\sqrt{b}}^{-1+\sqrt{b}}\left(g(x) - f(x)\right)\mathrm{d}x\right| = 10\)

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einleuchtend. Wie man merkt sind meine Mathekenntnisse etwas eingerostet, habe jetzt nur noch eine Frage.

Wie gehe ich mit dem b im Integral um? Muss ich hierfür x bzw. b substituieren oder wie gehe ich mit den zwei Variablen um? Da ich ja nach b auflösen muss würde es reichen die Grenzwerte in x einzusetzen und b zu belassen? Bzw. muss ich b in der Stammfunktion auch aufleiten?

Answer 2

Als Lösung von

\( \int \limits_{-\sqrt{b}-1}^{\sqrt{b}-1}\left((x+b)-\left(x^{2}+3 x+1\right)\right) d x =10 \)

erhalte ich

\( b=\left(\frac{15}{2}\right)^{2 / 3} \)

Comments

Vielen dank euch, die Grenzen sind schlüssig, jedoch wie weiß ich sicher ob die Gerade in diesem Abschnitt überhalb der Funktion liegt?

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Siehe Antwort von Benutzer "abakus" a.a.O. auf dieser Seite auf dieselbe Frage von Dir.