Aloha :)
Gegeben:\(\quad f:\;X\to Y\quad;\quad g:\;Y\to Z\).
a) Injektivität bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge höchstens 1-mal erreicht wird.$$g(f(x_1))=g(f(x_2))\stackrel{g\text{ ist injektiv}}{\implies}f(x_1)=f(x_2)\stackrel{f\text{ ist injektiv}}{\implies}x_1=x_2$$Wenn also \(f\) und \(g\) injektiv sind, ist auch die Verkettung \(g\circ f\) injektiv.
b) Surjektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge mindestens 1-mal erreicht wird.
Wähle ein \(z\in Z\) beliebig, aber fest. Da \(g\) surjektiv ist, gibt es ein \(y\in Y\) mit \(z=g(y)\). Da \(f\) ebenfalls surjektiv ist, gibt es ein \(x\in X\) mit \(y=f(x)\). Für das gewählte \(z\) gibt es also ein \(x\) mit \(z=g(f(x))\). Da \(z\) beliebig gewählt werden kann, gilt also:$$\forall z\in Z:\;\exists x\in X:\;z=(g\circ f)(x)$$Wenn also \(f\) und \(g\) surjektiv sind, ist auch die Verkettung \(g\circ f\) surjektiv.
