Löungsansatz für eine DGL gesucht

Question

Hallo an alle Wissenden hier!

Wir haben über Ostern ein Arbeitsblatt bekommen. Unser Dozent meinte, dass da aber eine unlösbare April-Scherz-Aufgabe drin ist. Ich habe mir alle Aufgaben angesehen und bei allen eine Lösungsidee. Nur bei einer Aufgabe weiß ich keinen Ansatz. Es geht um folgende DGL:

$$f'''(x)/f'(x)=1.5*(f''(x)/f'(x))^2$$

Es ist nicht sehr dringend, ich habe 2 Wochen Zeit zum Bearbeiten. Ich bin aber trotzdem für jeden Tipp dankbar.

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Answer 1

Aloha :)

Ich denke, dass das hier nicht die "April-Scherz"-Aufgabe ist. Ich bin mir zwar noch nicht wirklich sicher, ob ich an alles gedacht habe, möchte aber folgenden Lösungsvorschlag zur Diskussion stellen:

$$\left.\frac{f'''(x)}{f'(x)}=\frac{3}{2}\left(\frac{f''(x)}{f'(x)}\right)^2\quad\right|-\frac{3}{2}\left(\frac{f''(x)}{f'(x)}\right)^2$$$$\left.\frac{f'''(x)}{f'(x)}-\frac{3}{2}\left(\frac{f''(x)}{f'(x)}\right)^2=0\quad\right|\text{Bruch auf Hauptnenner bringen}$$$$\left.\frac{2f'''(x)f'(x)-3(f''(x))^2}{2(f'(x))^2}=0\quad\right|\cdot2$$

Nach der Multiplikation beider Seiten mit $2$ sieht dieser Bruch irgendwie nach der Quotientenregel aus. Dazu kommen die Faktoren $2$ und $3$ in Verbindung mit den Ableitungen von Ableitungen (Verdacht auf Kettenregel). Um das "irgendwie" zu konkretisieren, multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit einem zunächst fürchterlich anmutenden Bruch:

$$\left.\frac{2f'''(x)f'(x)-3(f''(x))^2}{(f'(x))^2}=0\quad\right|\cdot\frac{(f'(x))^2f''(x)}{(f'(x))^4}$$$$\left.\frac{2f'''(x)f''(x)(f'(x))^3-3(f''(x))^3(f'(x))^2}{(f'(x))^6}=0\quad\right|\text{Zähler etwas gruppieren}$$$$\left.\frac{2f'''(x)f''(x)\cdot(f'(x))^3-(f''(x))^2\cdot3f''(x)(f'(x))^2}{(f'(x))^6}=0\quad\right|\text{Ableitungen identifizieren}$$$$\left.\frac{(\,(f''(x))^2\,)'\cdot(f'(x))^3-(f''(x))^2\cdot(\,(f'(x))^3\,)'}{(\,(f'(x))^3\,)^2}=0\quad\right|\text{Quotientenregel "rückwärts"}$$$$\left.\left(\frac{(f''(x))^2}{(f'(x))^3}\right)'=0\quad\right|\text{integrieren}$$$$\left.\frac{(f''(x))^2}{(f'(x))^3}\eqqcolon c_1=\text{const}\quad\right|\sqrt{\cdots}$$$$\left.\frac{f''(x)}{(f'(x))^{3/2}}=\pm\sqrt{c_1}\eqqcolon c_2=\text{const}\quad\right|\text{integrieren}$$$$\left.\frac{-2}{(f'(x))^{1/2}}=c_2\cdot x+c_3\quad\right|c_3=\text{const}\;\big|\;:\,(-2)$$$$\left.\frac{1}{(f'(x))^{1/2}}=-\frac{c_2}{2}\cdot x-\frac{c_3}{2}\quad\right|\text{Kehrwerte}$$$$\left.\sqrt{f'(x)}=\frac{1}{-\frac{c_2}{2}\cdot x-\frac{c_3}{2}}\quad\right|(\cdots)^2$$$$\left.f'(x)=\frac{1}{\left(\frac{c_2}{2}\cdot x+\frac{c_3}{2}\right)^2}\quad\right|\text{integrieren}$$$$\left.f(x)=-\frac{1}{\frac{c_2}{2}\left(\frac{c_2}{2}\cdot x+\frac{c_3}{2}\right)}+c_4\quad\right|c_4=\text{const}$$Mit den neuen Konstanten $A\coloneqq-\frac{c_2^2}{4}$, $B\coloneqq-\frac{c_2c_3}{4}$ und $C\coloneqq c_4$ heißt das:$$f(x)=\frac{1}{Ax+B}+C\quad;\quad A,B,C=\text{const}$$

Comments

$\left.\frac{2f'''(x)f'(x)-3(f''(x))^2}{2(f'(x))^2}=0\quad\right.$

Kann man hier nicht einfach nur den Zähler gleich Null setzen?

$2f'''(x)f'(x)-3(f''(x))^2=0$

:-)

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Vielen Dank für die ausführliche Erklärung. Ich konnte alle Schritte sehr gut nachvollziehen. Bis auf die Konstanten hast du dasselber raus wie Grosserloewe. Aber schön gedruckt ist das natürlich Luxus.

Answer 2

Hallo,

Das ist keine Scherzaufgabe und diese ist lösbar. Die Probe bestätigt die Richtigkeit der Lösungen.

ich habe für f   y  geschrieben:

Setze:

u= f '

u'= f ''

u'' =f '''

Comments

Vielen Dank für die ausfühliche Erklärung.

Answer 3

Multipliziere mit $2\big(f^\prime(x)\big)^2$, setze $g(x):=f^\prime(x)$ und erhalte$$2g^{\prime\prime}(x)g(x)=3\big(g^\prime(x)\big)^2.$$Subtrahiere $2\big(g^\prime(x)\big)^2$ und dividiere anschließend durch $-2\big(g^\prime(x)\big)^2$:$$\frac{\big(g^\prime(x)\big)^2-g^{\prime\prime}(x)g(x)}{\big(g^\prime(x)\big)^2}=-\frac12$$$$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\frac{g(x)}{g^\prime(x)}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left(-\frac x2\right)$$Es ist also$$\frac{g(x)}{g^\prime(x)}=c-\frac x2.$$Löse diese DGL mit einem der bekannten Verfahren, um $g$ zu erhalten. Integriere $g$, um $f$ zu erhalten.

Answer 4

Das Wolframalpha-Orakel liefert als Lösung

$f(x)=c_{3}-\frac{c_{2}}{2 c_{1}+x}$

:-)