Aloha :)
Ich denke, dass das hier nicht die "April-Scherz"-Aufgabe ist. Ich bin mir zwar noch nicht wirklich sicher, ob ich an alles gedacht habe, möchte aber folgenden Lösungsvorschlag zur Diskussion stellen:
$$\left.\frac{f'''(x)}{f'(x)}=\frac{3}{2}\left(\frac{f''(x)}{f'(x)}\right)^2\quad\right|-\frac{3}{2}\left(\frac{f''(x)}{f'(x)}\right)^2$$$$\left.\frac{f'''(x)}{f'(x)}-\frac{3}{2}\left(\frac{f''(x)}{f'(x)}\right)^2=0\quad\right|\text{Bruch auf Hauptnenner bringen}$$$$\left.\frac{2f'''(x)f'(x)-3(f''(x))^2}{2(f'(x))^2}=0\quad\right|\cdot2$$
Nach der Multiplikation beider Seiten mit \(2\) sieht dieser Bruch irgendwie nach der Quotientenregel aus. Dazu kommen die Faktoren \(2\) und \(3\) in Verbindung mit den Ableitungen von Ableitungen (Verdacht auf Kettenregel). Um das "irgendwie" zu konkretisieren, multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit einem zunächst fürchterlich anmutenden Bruch:
$$\left.\frac{2f'''(x)f'(x)-3(f''(x))^2}{(f'(x))^2}=0\quad\right|\cdot\frac{(f'(x))^2f''(x)}{(f'(x))^4}$$$$\left.\frac{2f'''(x)f''(x)(f'(x))^3-3(f''(x))^3(f'(x))^2}{(f'(x))^6}=0\quad\right|\text{Zähler etwas gruppieren}$$$$\left.\frac{2f'''(x)f''(x)\cdot(f'(x))^3-(f''(x))^2\cdot3f''(x)(f'(x))^2}{(f'(x))^6}=0\quad\right|\text{Ableitungen identifizieren}$$$$\left.\frac{(\,(f''(x))^2\,)'\cdot(f'(x))^3-(f''(x))^2\cdot(\,(f'(x))^3\,)'}{(\,(f'(x))^3\,)^2}=0\quad\right|\text{Quotientenregel "rückwärts"}$$$$\left.\left(\frac{(f''(x))^2}{(f'(x))^3}\right)'=0\quad\right|\text{integrieren}$$$$\left.\frac{(f''(x))^2}{(f'(x))^3}\eqqcolon c_1=\text{const}\quad\right|\sqrt{\cdots}$$$$\left.\frac{f''(x)}{(f'(x))^{3/2}}=\pm\sqrt{c_1}\eqqcolon c_2=\text{const}\quad\right|\text{integrieren}$$$$\left.\frac{-2}{(f'(x))^{1/2}}=c_2\cdot x+c_3\quad\right|c_3=\text{const}\;\big|\;:\,(-2)$$$$\left.\frac{1}{(f'(x))^{1/2}}=-\frac{c_2}{2}\cdot x-\frac{c_3}{2}\quad\right|\text{Kehrwerte}$$$$\left.\sqrt{f'(x)}=\frac{1}{-\frac{c_2}{2}\cdot x-\frac{c_3}{2}}\quad\right|(\cdots)^2$$$$\left.f'(x)=\frac{1}{\left(\frac{c_2}{2}\cdot x+\frac{c_3}{2}\right)^2}\quad\right|\text{integrieren}$$$$\left.f(x)=-\frac{1}{\frac{c_2}{2}\left(\frac{c_2}{2}\cdot x+\frac{c_3}{2}\right)}+c_4\quad\right|c_4=\text{const}$$Mit den neuen Konstanten \(A\coloneqq-\frac{c_2^2}{4}\), \(B\coloneqq-\frac{c_2c_3}{4}\) und \(C\coloneqq c_4\) heißt das:$$f(x)=\frac{1}{Ax+B}+C\quad;\quad A,B,C=\text{const}$$
