Warum wird bei dieser partiellen Integration der Nenner quadriert?

Question

Folgendes Integral ist gegeben:

\( \int\limits_{0}^{10}\) t*e^-0,086t+0,86 dt

Die Stammfunktion lautet:

(\( \frac{t}{(-0,086)} \) - \( \frac{1}{(-0,086)^2 } \))e-^0,086t+0,86

Mir ist dabei aber nicht klar, warum die (-0,086) im Nenner des zweiten Bruchs quadriert werden?

Wäre toll, wenn mir das jemand erklären könnte!

Vielen Dank

MatheJoe

Aufgabe:

Answer 1

$$ \begin{aligned} \int t \cdot e^{-0.086t+0.86}~\textrm d t &= \frac{t}{-0.086} e^{-0.086t+0.86}- \int \frac{1}{-0.086}e^{-0.086t+0.86}~\textrm d t \\ &= \frac{t}{-0.086}e^{-0.086t+0.86}- \frac{1}{(-0.086)^2}e^{-0.086t+0.86} \end{aligned}$$

Du musst von der Exponentialfunktion ja für den zweiten Teil zweimal die Stammfunktion bilden, deshalb taucht der Vorfaktor im Quadrat auf.

Comments

Muss ich die Stammfunktion zweimal bilden aufgrund der Kettenregel beim ableiten?

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Wenn du so fragst, hast du wahrscheinlich nicht versucht, die vorgestellten Schritte der Antwort nachzuvollziehen.

ES WIRD PARTIELL INTEGRIERT.

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Ich habe versucht es nachzuvollziehen, jedoch verstehe ich es noch nicht.

Wenn wir t als f(x) definieren und e-^0,086t+0,86 als g'(x).

Dann lautet die Formel für die partielle Integration ja

 ∫ f(x)*g'(x) dx = f(x)*g(x) - ∫f'(x)*g(x).

g(x) = \( \frac{1}{-0,086} \)e^-0,086+0,86 und f'(x)= 1.

Warum muss ich dann im zweiten Teil die Stammfunktion der e-Funktion zweimal bilden?

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∫ f(x)*g'(x) dx = f(x)*g(x) - ∫f'(x)*g(x) dx.

Das ist ein unbestimmtes Integral. Also musst du die Stammfunktion bilden.

$$ f'(x) \cdot g(x) = \frac{1}{-0.086} e^{-0.086x+0.86} $$