Unterschied zwischen Exponentialfunktionen

Question

Aufgabe:

Auf einem Joghurtdeckel befinden sich zum Zeitpunkt der Verpackung 183 Mio. Bakterien. 29 Stunden später sind es schon 577 Mio. Es wird vorausgesetzt, dass die relative Änderung der Bakterien konstant ist. Wie hoch ist die relative Änderung pro Stunde? (Geben Sie das Ergebnis in Prozent an.)

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz war, die Funktion 577=183*e^c*29 einfach nach c aufzulösen.

Dies gibt mir die Lösung 0,039598. Somit beträgt das Wachstum 3,95% pro Stunde.

In der Musterlösung wird aber mit der Funktion 577=183*(1+i)²⁹ gerechnet, was ein Wachstum von 4,04% pro Stunde ergibt.

Ich dachte immer, dass es sich bei "relativer konstanter Änderung" um eine Exponentialfunltion "e" handelt.

Woher weiß ich bei derartigen Aufgaben nun, welche Exponentialfunktion ich verwenden muss?

Answer 1

Jede Exponentialfunktion

        \(f(x) = a^x\)

zur Basis a kann in eine Exponentialfunktion

        \(f(x) = b^{kx}\)

umgeformt werden, und zwar mittels

        \(k = \log_ba\).

Grund dafür ist

        \(b^{x\cdot \log_ba} \stackrel{\text{Potenzgesetz}}{=} \left(b^{\log_ba}\right)^x \stackrel{\text{Definition }\log}{=} a^x\).

Was du als Basis verwendest, ist also egal.

577=183*e^c*29 einfach nach c aufzulösen. Dies gibt mir die Lösung 0,039598.

Die Funktionsgleichung lautet also

        \(f(x) = 183\cdot \mathrm{e}^{0,039598x}\)

Nach einer Stunde sind also

        \(f(1) = 183\cdot \mathrm{e}^{0,039598\cdot 1} \approx 190,39\) Mio Bakterien

vorhanden. Das ergibt eine relative Änderung von

        \(\frac{190,39 - 183}{183} \approx 0,0404 = 4,04\%\).

Ich dachte immer, dass es sich bei "relativer konstanter Änderung" um eine Exponentialfunltion "e" handelt.

Wie gesagt, es ist egal was du Basis nimmst. Du musst die Ergebnisse nur richtig interpretieren.

Und das \(c\) in der Gleichung \(f(x) = 183\cdot\mathrm{e}^{cx}\) ist eben nicht die relative Änderung pro Stunde.

Das \(i\) in der Gleichung \(f(x) = 183\cdot(1+i)^{x}\) ist die relative Änderung pro Stunde.

Answer 2

Wachstum lässt sich grundsätzlich mit Hilfe des Wachstumsfaktors q berechnen. Für W(n) als Anzahl nach n Zeiteinheiten gilt immer:  W(n)=W(0)·qⁿ. Dabei wird q mit Hilfe von q=1+p/100 in das prozentuale Wachstum p umgerechnet.

Answer 3

Eine Exponentialfunktion hat nicht unbedingt " e " als
Basis. Die Basis ist beliebig.
A = Anzahl
( t | A )
( 0 | 183 )
( 29 | 577 Mio )

Ich nehme
A ( t ) = A0 * q ^t
A ( 0 ) = A0 * q ^0 = A0 * 1 = A0 = 183

A ( 29 ) = 183 * q ^29 = 577
q = 1.0404

A ( t ) = 183 * 1.0404 ^t

Umwandlung in eine Funktion mit " e " als Basis

1.0404 ^t = e^( c*t)  | ln
t * ln ( 1.0404 ) = c * t
c = ln ( 1.0404 )
c = 0.0396

A ( t ) = 183 * e^( 0.0396 * t)

Beide Funktionen sind identisch

Woher weiß ich bei derartigen Aufgaben nun,
welche Exponentialfunktion ich verwenden muss?

Muß ich mal noch etwas überlegen.

Comments

Vielen Dank für die ausführliche Erklärung!

Dann müsste aber eigentlich bei beiden Möglichkeiten das gleiche Ergebnis rauskommen oder?

Wenn ich jedoch 183*e^0,0396*29 rechne, bekomme ich 577,025, während ich bei 183*(1,0404)²⁹ = 577,113 als Ergebnis bekomme.

Warum ist das so?

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Wenn du für c den exakten Wert
0.03960525459 oder ln(1.0404) einsetzt
kommt dasselbe heraus.

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Vielen Dank!!

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Dies gibt mir die Lösung 0,039598. Somit beträgt das Wachstum 3,95% pro Stunde.

Dies stimmt leider nicht.

Siehe die ausgezeichnete Antwort.